Planando dentro de um poço do inferno, um diabo observa um estudante despencar no poço com velocidade terminal (portanto constante). Ele escuta a frequência dos gritos da pessoa mudar de 842 para 800 Hz . (a) Calcular a velocidade da queda. (b) O grito gera batimentos quando superposto ao eco proveniente do fundo do poço. Calcular o número de batimentos por segundo que a própria pessoa ouve durante a queda. (c) Calcular o número de batimentos por segundo ouvidos pelo diabo depois que o estudante passar por ele. Considere a velocidade do som igual a 340 m / s.

Passo 1

O enunciado diz que um estudante despenca com velocidade terminal constante e o diabo, parado, escuta a frequência dos gritos mudar de 842 Hz para 800 Hz. Isso envolve o efeito Doppler para fonte em movimento. Depois, parte (b) pede o número de batimentos que o próprio estudante ouve quando seu grito se reflete no fundo do poço (eco), e parte (c) pede o número de batimentos que o diabo ouve entre o som direto e o eco depois que o estudante já passou por ele. Vamos precisar da fórmula do efeito Doppler para fonte móvel e do cálculo de batimentos fbat=|f2-f1|.

Passo 2

(a) Como o diabo é observador estacionário e a fonte (o estudante) afasta-se com velocidade v, a frequência ouvida f é
f = f0vrm somvrm som+v,
onde f0 é a frequência real do grito e vrm som=340rm m/s. Sabendo que a frequência inicial (quando v=0) é f0=842rm Hz e que com velocidade terminal o diabo ouve f=800rm Hz, temos
800 = 842,340340+v Longrightarrow 340+v = 842cdot340800 Longrightarrow v = 340l(842800-1r)
Fazendo as contas,
v approx 340times0,0525 approx 17,9rm m/s

Passo 3

(b) Para o estudante ouvindo batimentos entre o som direto e o eco refletido no fundo, procedemos em dois passos:
  1. O som que vai até o fundo é emitido por fonte móvel se aproximando, então a frequência no fundo é
f1 = f0vrm somvrm som-v
  1. Esse som reflete e volta, e o estudante (ouvinte) se aproxima da fonte ecoante, recebendo
frm eco = f1vrm som+vvrm som = f0vrm som+vvrm som-v
Como o estudante ouve o som direto a f0, o número de batimentos é
frm bat,,estudante = frm eco-f0 = f0l(vrm som+vvrm som-v-1r) = f0,2vvrm som-v
Substituindo f0=842rm Hz, v=17,9rm m/s e vrm som=340rm m/s,
frm bat,,estudante approx 842;2times17,9340-17,9 approx 94rm Hz

Passo 4

(c) Depois que o estudante passa pelo diabo, ele ainda ouve o som direto recuando e o eco do fundo. Para o diabo estacionário:
  • Som direto: mesma fórmula da parte (a), frm dir=800rm Hz.
  • Eco: primeiro o fundo capta f1 = f0vrm somvrm som-v (como em (b) passo 1) e reflete sem mudança adicional para o ouvinte estacionário, logo
frm eco,,diabo = f1 = f0vrm somvrm som-v
O número de batimentos que o diabo escuta é
frm bat,,diabo = frm eco,,diabo-frm dir = f0l(vrm somvrm som-v-vrm somvrm som+vr)
Numericamente, com f0=842rm Hz e v=17,9rm m/s:
frm bat,,diabo approx 842l(340340-17,9-340340+17,9r) approx 88rm Hz

Resposta

(a) vapprox17,9rm m/s
(b) frm bat,,estudanteapprox94rm Hz
(c) frm bat,,diaboapprox88rm Hz

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