Um cilindro circular de 200 m de comprimento e raio de 6 cm tem uma densidade superficial de carga \sigma= 9 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. (a) Qual a carga total do cilindro? Calcular o campo elétrico em (b) \mathrm{r}=2 \mathrm{~cm}, (c) \mathrm{r}=5,9, (d) \mathrm{r}=6,1 \mathrm{~cm} e (e) r=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro circular de comprimento L=200\,\mathrm{m} e raio a=6\,\mathrm{cm}=0,06\,\mathrm{m} com densidade superficial de carga \sigma=9\times10^{-9}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Pede-se (a) a carga total e (b–e) o campo elétrico em distâncias radiais r. Vamos usar a lei de Gauss para um cilindro longo, desprezando efeitos de borda.

Passo 2

A carga total está distribuída somente na superfície lateral, cuja área é 2\pi a L. Logo
Q_{\rm total}=\sigma\,(2\pi a L)
Substituindo os valores:
Q_{\rm total} =9\times10^{-9}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^2}\times2\pi\times0,06\,\mathrm{m}\times200\,\mathrm{m} =6,78\times10^{-7}\,\mathrm{C}.

Passo 3

Pela simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície de Gauss coaxial de raio genérico r e comprimento L. A lei de Gauss dá
\oint E\cdot dA =E(r)\,(2\pi rL) =\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}.
O carregamento interno Q_{\rm int} é
Q_{\rm int}= \begin{cases} 0, & r<a,\\[6pt] \sigma\,(2\pi aL), & r\ge a. \end{cases}
Logo o campo é
E(r)= \begin{cases} 0, & r<a,\\[3pt] \dfrac{\sigma\,a}{\varepsilon_0\,r}, & r\ge a. \end{cases}]

Passo 4

Para r<a (caso interno) temos
E(r)=0.
Assim em \displaystyle r=2\,\mathrm{cm}=0,02\,\mathrm{m}
e \displaystyle r=5{,}9\,\mathrm{cm}=0,059\,\mathrm{m}
o campo é zero.

Passo 5

Para r\ge a (caso externo) vale
E(r)=\frac{\sigma\,a}{\varepsilon_0\,r}.
Tomando \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\,\mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2), temos
E(6{,}1\,\mathrm{cm}) =E(0,061\,\mathrm{m}) =\frac{9\times10^{-9}\times0,06}{8,85\times10^{-12}\times0,061} \approx1{,}00\times10^{3}\,\mathrm{V/m},
E(10\,\mathrm{cm}) =E(0,10\,\mathrm{m}) =\frac{9\times10^{-9}\times0,06}{8,85\times10^{-12}\times0,10} \approx6,10\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

Resposta

(a) Q_{\rm total}=6,78\times10^{-7}\,\mathrm{C}.
(b) E(2\,\mathrm{cm})=0.
(c) E(5{,}9\,\mathrm{cm})=0.
(d) E(6{,}1\,\mathrm{cm})\approx1{,}00\times10^{3}\,\mathrm{V/m}.
(e) E(10\,\mathrm{cm})\approx6,10\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

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