Um cilindro circular muito longo, de raio R, está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga de. (a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo E num ponto P à distância rho do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas (rho, phi, z). (b) Calcule |E| num ponto P interno ao cilindro (0. © Esboce um gráfico de |E| em função de rho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de eletrostática envolvendo um cilindro muito longo e carregado uniformemente. O objetivo é descobrir a direção e o sentido do campo elétrico em um ponto fora do cilindro, calcular a intensidade do campo elétrico dentro do cilindro e fazer um gráfico mostrando como essa intensidade varia com a distância do eixo do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss e entender um pouco sobre simetria em problemas de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na direção e no sentido do campo elétrico num ponto P a uma distância rho do eixo do cilindro. Como o cilindro é muito longo e uniformemente carregado, ele tem uma simetria cilíndrica perfeita. Isso significa que o campo elétrico deve ser o mesmo em todas as direções ao redor do eixo do cilindro e só depender da distância rho.
Por isso, o campo elétrico E no ponto P vai apontar radialmente para fora do eixo do cilindro se a carga for positiva (ou para dentro se for negativa). E a intensidade do campo vai depender apenas de rho, não de phi (o ângulo) nem de z (a altura).

Passo 3

Agora, vamos calcular a intensidade do campo elétrico num ponto P que está dentro do cilindro (ou seja, 0 < rho < R). Para isso, usamos a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio rho e comprimento L. A carga encapsulada por essa superfície é:
Qenc = de
O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E cdot 2pi rho L
Igualando as duas expressões pela Lei de Gauss:
E cdot 2pi rho L = de
Simplificando:
E = de
Então, a intensidade do campo elétrico dentro do cilindro aumenta linearmente com a distância rho do eixo.

Passo 4

Por fim, vamos esboçar um gráfico de |E| em função de rho. Como vimos, para rho < R, |E| aumenta linearmente com rho. Para rho >= R, o campo elétrico é dado por outra expressão, mas como o exercício pede apenas até rho < R, o gráfico será uma linha reta que começa na origem e sobe até rho = R.

Resposta

A intensidade do campo elétrico dentro do cilindro, para 0 < rho < R, é:
|E| = de

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