Um cilindro circular muito longo, de raio
, está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga
. (a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo
num ponto
à distância
do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas
. (b) Calcule
num ponto
interno ao cilindro
. © Esboce um gráfico de
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de eletrostática envolvendo um cilindro muito longo e carregado uniformemente. O objetivo é descobrir a direção e o sentido do campo elétrico em um ponto fora do cilindro, calcular a intensidade do campo elétrico dentro do cilindro e fazer um gráfico mostrando como essa intensidade varia com a distância do eixo do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss e entender um pouco sobre simetria em problemas de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na direção e no sentido do campo elétrico num ponto
a uma distância
do eixo do cilindro. Como o cilindro é muito longo e uniformemente carregado, ele tem uma simetria cilíndrica perfeita. Isso significa que o campo elétrico deve ser o mesmo em todas as direções ao redor do eixo do cilindro e só depender da distância
.
Por isso, o campo elétrico
no ponto
vai apontar radialmente para fora do eixo do cilindro se a carga for positiva (ou para dentro se for negativa). E a intensidade do campo vai depender apenas de
, não de
(o ângulo) nem de
(a altura).
Passo 3
Agora, vamos calcular a intensidade do campo elétrico num ponto
que está dentro do cilindro (ou seja,
). Para isso, usamos a Lei de Gauss, que diz:
Escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, de raio
e comprimento
. A carga encapsulada por essa superfície é:
O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Igualando as duas expressões pela Lei de Gauss:
Simplificando:
Então, a intensidade do campo elétrico dentro do cilindro aumenta linearmente com a distância
do eixo.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar um gráfico de
em função de
. Como vimos, para
,
aumenta linearmente com
. Para
, o campo elétrico é dado por outra expressão, mas como o exercício pede apenas até
, o gráfico será uma linha reta que começa na origem e sobe até
.
Resposta
A intensidade do campo elétrico dentro do cilindro, para
, é: