Uma corda uniforme de 20 m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de
para cima.
Calcule a velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e a velocidade de uma partícula situada no ponto
no instante
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Calcule a velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e a velocidade de uma partícula situada no ponto
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma corda de 20 metros de comprimento e 2 kg de massa, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades está oscilando para cima e para baixo com uma amplitude de 3 cm, frequência de 5 oscilações por segundo e um deslocamento inicial de 1,5 cm para cima. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas:
- A velocidade inicial da extremidade que está oscilando.
- A velocidade de uma partícula situada a 0,5 metros da fixação da corda no instante $ t = 0,1 $ segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas transversais e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como uma onda se propaga pela corda. Quando você oscila uma extremidade da corda, uma onda é criada e viaja ao longo dela. A velocidade da onda ($ v $) na corda pode ser calculada usando a fórmula:
onde:
- $ T $ é a tensão na corda (10 N),
- $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento da corda.
Vamos calcular $ \mu $:
Agora, a velocidade da onda:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade inicial da extremidade que está oscilando. Como a extremidade está oscilando em movimento harmônico simples, podemos usar a equação da posição:
onde:
- $ A $ é a amplitude (3 cm = 0,03 m),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Primeiro, calculamos $ \omega $:
A frequência $ f $ é 5 oscilações por segundo, então:
Sabemos que o deslocamento inicial $ y(0) = 1,5,cm = 0,015,m $:
Agora, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
No instante inicial $ t = 0 $:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
A velocidade inicial é aproximadamente -0,816 m/s (o sinal negativo indica a direção).
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade de uma partícula situada a $ x = 0,5,m $ no instante $ t = 0,1,s $.
Sabemos que a onda se propaga com velocidade $ v = 10,m/s $. Então, para calcular o tempo que a onda leva para chegar a $ x = 0,5,m $:
Nesse instante $ t = 0,1,s $, a fase da onda na posição $ x = 0,5,m $ será:
Agora, a velocidade na posição $ x = 0,5,m $ e tempo $ t = 0,1,s $:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, então:
Resposta
A velocidade inicial da extremidade que está oscilando é aproximadamente -0,816 m/s, e a velocidade da partícula situada a $ x = 0,5,m $ no instante $ t = 0,1,s $ é aproximadamente -0,471 m/s.