O diafragma de um auto-falante de 30 cm de diâmetro está vibrando a 1.0 kHz com um amplitude de 0.020 mm . Considere a densidade do ar rho=1.29 kg / m^3 e a velocidade do som v=343 m / s. Supondo que o ar na vizinhança do auto-falante tenha a mesma amplitude de vibração, determine a amplitude de pressão imediatamente à frente do diafragma, as intensidades absoluta e relativa do som imediatamente à frente do diafragma, a potência sonora irradiada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um auto-falante com um diafragma de 30 cm de diâmetro que está vibrando a 1.0 kHz com uma amplitude de 0.020 mm. Além disso, sabemos que a densidade do ar é de 1.29 kg/m³ e a velocidade do som no ar é de 343 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir quatro coisas:
  1. Amplitude de pressão imediatamente à frente do diafragma.
  2. Intensidade absoluta do som imediatamente à frente do diafragma.
  3. Intensidade relativa do som imediatamente à frente do diafragma.
  4. Potência sonora irradiada pelo auto-falante.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da física de ondas sonoras, envolvendo conceitos como amplitude, frequência, densidade do meio e velocidade do som. Vamos passo a passo para não ficar complicado!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a amplitude de pressão § à frente do diafragma. A amplitude de pressão em uma onda sonora pode ser calculada usando a fórmula:
p = rho cdot v cdot omega cdot s
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do ar (1.29 kg/m³),
  • $ v $ é a velocidade do som no ar (343 m/s),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ s $ é a amplitude de vibração (0.020 mm = 0.020 \times 10^{-3} m).
Antes de tudo, precisamos encontrar $ \omega $, que é calculada por:
rho
Com $ f = 1.0 $ kHz = 1000 Hz,
v
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da amplitude de pressão:
omega
Vamos calcular isso:
s
omega
omega = 2pi f
f = 1.0
omega = 2pi times 1000 = 2000pi , rad/s
p = 1.29 times 343 times 2000pi times 0.020 times 10^-3

Passo 3

Agora que temos a amplitude de pressão, vamos calcular a intensidade absoluta do som à frente do diafragma. A intensidade (I) de uma onda sonora é dada pela fórmula:
I = p^2rho cdot v
Onde:
  • $ p $ é a amplitude de pressão que calculamos (≈55.472 Pa),
  • $ \rho $ é a densidade do ar (1.29 kg/m³),
  • $ v $ é a velocidade do som no ar (343 m/s).
Substituindo os valores:
p
rho
v

Passo 4

Agora, vamos determinar a intensidade relativa do som. A intensidade relativa geralmente compara a intensidade do som com uma intensidade de referência padrão, que é $ I_0 = 1 \times 10^{-12} , W/m^2 $.
A intensidade relativa ($ \beta $) em decibéis (dB) é calculada por:
I0 = 1 times 10^-12 , W/m^2
Substituindo os valores:
beta
beta = 10 cdot log10(II0)
beta = 10 cdot log10(6.961 times 10^-12)
beta = 10 cdot log10(6.96 times 10^12)
beta = 10 cdot ( log10(6.96) + 12 )
beta = 10 cdot (0.842 + 12)

Passo 5

Por último, vamos calcular a potência sonora irradiada pelo auto-falante. A potência § pode ser encontrada pela fórmula:
P = I cdot A
Onde:
  • $ I $ é a intensidade que calculamos (≈6.96 W/m²),
  • $ A $ é a área do diafragma.
Primeiro, vamos calcular a área do diafragma. O diâmetro é de 30 cm, então o raio ® é de 15 cm = 0.15 m.
A área $ A $ de um círculo é:
I
A
A
A = pi r^2
Agora, calculamos a potência:
A = pi times (0.15)^2
A = 3.1416 times 0.0225

Resposta

A amplitude de pressão imediatamente à frente do diafragma é aproximadamente 55.5 Pa, a intensidade absoluta do som é cerca de 6.96 W/m², a intensidade relativa é aproximadamente 128.4 dB, e a potência sonora irradiada pelo auto-falante é 0.492 W.

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