Um cilindro circular reto encontra-se inscrito em um cone circular reto cujo raio da base mede 5 cm e a altura mede 12 cm . Sabendo que o raio da base do cilindro mede
, determine o volume desse cilindro em função de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um cone circular reto de raio da base igual a 5 cm e altura igual a 12 cm, e um cilindro circular reto inscrito neste cone com raio da base igual a
. Precisamos encontrar o volume do cilindro em função de
. Para isso vamos relacionar o raio
e a altura
do cilindro usando semelhança de triângulos e depois aplicar a fórmula do volume do cilindro.
Passo 2
Na seção longitudinal, o cone forma um triângulo, e as seções transversais horizontais têm raio que decresce linearmente de 5 cm na base até 0 no vértice. Seja
a altura medida a partir da base do cone, o raio
da seção do cone nesse ponto satisfaz a relação de semelhança
ou seja,
Passo 3
O cilindro está apoiado na base do cone, então sua altura
corresponde à altura na qual a seção do cone tem raio igual a
. Logo,
e resolvendo para
obtemos
Passo 4
Usando agora a fórmula do volume de um cilindro,
substituímos
para expressar o volume em função de
: