Um cilindro circular reto encontra-se inscrito em um cone circular reto cujo raio da base mede 5 cm e a altura mede 12 cm . Sabendo que o raio da base do cilindro mede r, determine o volume desse cilindro em função de r.

Passo 1

O enunciado nos dá um cone circular reto de raio da base igual a 5 cm e altura igual a 12 cm, e um cilindro circular reto inscrito neste cone com raio da base igual a r. Precisamos encontrar o volume do cilindro em função de r. Para isso vamos relacionar o raio r e a altura H do cilindro usando semelhança de triângulos e depois aplicar a fórmula do volume do cilindro.

Passo 2

Na seção longitudinal, o cone forma um triângulo, e as seções transversais horizontais têm raio que decresce linearmente de 5 cm na base até 0 no vértice. Seja y a altura medida a partir da base do cone, o raio R(y) da seção do cone nesse ponto satisfaz a relação de semelhança
R(y)5 = 12 - y12,
ou seja,
R(y) = 5l(1 - y12r)

Passo 3

O cilindro está apoiado na base do cone, então sua altura H corresponde à altura na qual a seção do cone tem raio igual a r. Logo,
r = R(H) = 5l(1 - H12r),
e resolvendo para H obtemos
1 - H12 = r5 Longrightarrow H12 = 1 - r5 Longrightarrow H = 12l(1 - r5r)

Passo 4

Usando agora a fórmula do volume de um cilindro,
V(r) = pi r^2 H,
substituímos H para expressar o volume em função de r:
V(r) = pi r^2 cdot 12l(1 - r5r) = 12pi r^2l(1 - r5r)

Resposta

V(r) = 12pi r^2l(1 - r5r)

Exercícios relacionados