Um cilindro condutor não magnético é definido por seu raio igual a 0,3 \mathrm{~mm}, no qual flui uma corrente de 5 A no eixo z positivo. (a) Determine como a densidade de fluxo magnético se comporta dentro e fora do condutor. (b) Qual a densidade de corrente dentro do condutor?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro condutor não magnético com raio a=0,3\\ \mathrm{mm} e uma corrente total I=5\\ \mathrm{A} fluindo no sentido do eixo +z. As perguntas são:
(a) Como a densidade de fluxo magnético \mathbf{B} se comporta dentro ( r<a) e fora ( r\ge a) do condutor?
(b) Qual é a densidade de corrente dentro do condutor?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;a=0,3\\ \mathrm{mm}=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
\;I=5\\ \mathrm{A}.
O condutor é não magnético (usar \mu_0 no lugar de \mu).
O enunciado não especifica distribuição de corrente; a hipótese natural (e usual nesses exercícios) é que a corrente está distribuída uniformemente na seção circular do condutor. Vou usar essa hipótese.

Passo 2

Por que usar Ampère (e por que assumir corrente uniforme)? Vou explicar de forma prática: a geometria é cilíndrica e a corrente é ao longo de z, logo o problema tem simetria cilíndrica — as linhas de \mathbf{B} serão circunferências ao redor do eixo. Nessas situações a lei de Ampère é a ferramenta mais direta, porque relaciona a circulação de \mathbf{B} numa curva fechada com a corrente total atravessando a superfície limitada por essa curva. A suposição de corrente uniforme é padrão quando o enunciado não dá outra distribuição; ela simplifica I_{\text{enc}} proporcional à área circular até o raio r.

Passo 3

Apresentando a lei de Ampère (em forma integral):
\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mathbf{B} é o campo magnético, d\mathbf{l} é um elemento da curva fechada C, \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}) e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando a superfície limitada por C. Essa lei vale para correntes estacionárias e é ótima quando há simetria.

Passo 4

Analisando a simetria e a direção de \mathbf{B}:
  • Pelo formato cilíndrico e corrente ao longo de +z, o campo magnético só pode ter componente azimutal, isto é, ao longo do versor \hat{\varphi} (linhas concêntricas ao redor do eixo).
  • A magnitude de \mathbf{B} depende apenas do raio radial r.
  • O sentido (sentido de \hat{\varphi}) é dado pela regra da mão direita: enrolando os dedos segundo \mathbf{B} as linhas circulares, o polegar aponta para o sentido da corrente ( +z).
Por isso podemos escrever \mathbf{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\varphi}.

Passo 5

Caso r<a (ponto interior ao condutor): calcular a corrente atravessada pela superfície circular de raio r. Se a corrente está uniformemente distribuída na seção, a densidade superficial de corrente (no corte) é proporcional à área. A corrente encerrada é a fração da área:
I_{\text{enc}}(r)=I\cdot\frac{\text{área até }r}{\text{área total}}=I\cdot\frac{\pi r^{2}}{\pi a^{2}}=I\frac{r^{2}}{a^{2}}.áéá

Passo 6

Aplicando Ampère para uma curva circular de raio r centrada no eixo (o comprimento da curva é 2\pi r) e usando que \mathbf{B} é tangente e de módulo constante ao longo da curva:
\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}(r).
Substituindo I_{\text{enc}}(r)=I\frac{r^{2}}{a^{2}} obtemos
B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu_0 I\frac{r^{2}}{a^{2}}.
Isolando B_\varphi(r):
B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi a^{2}}\,r.
Logo, o campo magnético dentro do condutor é
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi a^{2}}\,r\;\hat{\varphi},\qquad (0\le r<a).
Observação didática: aqui vemos que \mathbf{B} cresce linearmente com r dentro do condutor — comportamento típico quando a corrente é distribuída uniformemente.

Passo 7

Caso r\ge a (fora do condutor): a corrente encerrada pela circunferência de raio r é toda a corrente I_{\text{enc}}=I. Aplicando Ampère:
B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu_0 I,
de onde
B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Portanto, o campo magnético fora do condutor é
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\;\hat{\varphi},\qquad (r\ge a).
Comentário: esse é o mesmo comportamento do campo magnético de um fio fino com corrente I, decaindo como 1/r.

Passo 8

Verificação de continuidade na superfície r=a:
Avalie as duas expressões em r=a. Dentro: B_\varphi(a)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a^{2}}a=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}. Fora: B_\varphi(a)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}. Portanto \mathbf{B} é contínuo em r=a, como esperado (campo magnético tangencial é contínuo quando não há superfície de corrente diferente).

Passo 9

Cálculo numérico ilustrativo do módulo de \mathbf{B} na superfície r=a: usando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},
B(a)=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot5}{2\pi\cdot3\times10^{-4}}= \frac{2\times10^{-7}\cdot5}{3\times10^{-4}}=\frac{1\times10^{-6}}{3\times10^{-4}}=3,33\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Isso dá cerca de 3,33\\ \mathrm{mT} na superfície para os valores dados. (Só para ter noção de ordem de grandeza.)

Passo 10

Agora a densidade de corrente \mathbf{J} dentro do condutor (parte b). Para corrente uniformemente distribuída na seção circular, a densidade de corrente é constante e vale a corrente total dividida pela área da seção:
\mathbf{J}=\frac{I}{\pi a^{2}}\;\hat{z}.
Substituindo numericamente a=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m}:
\pi a^{2}=\pi(3\times10^{-4})^{2}=\pi\cdot9\times10^{-8}=9\pi\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}\approx2,827\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}},
J=\frac{5}{\pi a^{2}}\approx\frac{5}{2,827\times10^{-7}} \approx 1,77\times10^{7}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Em forma vetorial:
\mathbf{J}\approx 1,77\times10^{7}\\ \mathrm{A/m^{2}}\;\hat{z}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(r)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_{0} I}{2\pi a^{2}}\,r\;\hat{\varphi}, & 0\le r<a,\\[6pt] \displaystyle \frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\;\hat{\varphi}, & r\ge a. \end{cases}
(b) \displaystyle \mathbf{J}=\frac{I}{\pi a^{2}}\;\hat{z}\approx 1,77\times10^{7}\\ \mathrm{A/m^{2}}\;\hat{z}.]

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