Um cilindro de raio a=0,3 c m é colocado no eixo z e é percorrido por uma densidade de corrente \vec{J}=3 \rho A / m^{2} na direção +z. (a) Qual a função da intensidade de campo magnético na região definida do centro ao raio do cilindro? (b) Determine a corrente total que flui no condutor.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A função da intensidade do campo magnético na região do centro até o raio do cilindro (ou seja, para 0\le \rho \le a).
  2. (b) A corrente total que flui no condutor.
Informações dadas:
a=0,3\\ \text{cm}=0,003\\ \text{m}
\vec{J}=3\,\rho\\ \hat{z}\quad\text{(unidade: A/m}^2\text{)}
Observações imediatas úteis (só identificação, sem resolver ainda): a densidade de corrente depende do raio cilíndrico \rho e está dirigida ao longo do eixo +z. Queremos o campo magnético dentro do condutor (do eixo até \rho=a) e a corrente total através da seção transversal.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Usamos a Lei de Ampère na forma integral:
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}
onde:
  • \vec{B} é o campo magnético;
  • d\vec{\ell} é um elemento de comprimento ao longo da curva fechada \mathcal{C};
  • \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} é a permeabilidade do vácuo;
  • I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície delimitada por \mathcal{C}.
Por simetria cilíndrica, o campo magnético produzido por uma corrente ao longo de z será tangencial (no sentido \hat{\varphi}), e depende apenas do raio \rho. Então escolhemos como curva de Ampère um círculo de raio \rho centrado no eixo. Nesse caso:
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B(\rho)\, (2\pi \rho)
porque \vec{B} é tangencial e constante em módulo ao longo do círculo de raio \rho. Assim precisamos calcular I_{\text{enc}}(\rho), a corrente que passa pela seção circular de raio \rho.

Passo 3

Cálculo de I_{\text{enc}}(\rho): integrar a densidade de corrente sobre a área do círculo de raio \rho.
Elemento de área em coordenadas cilíndricas: dA=\rho'\,d\rho'\,d\varphi. A densidade é \vec{J}=3\,\rho'\,\hat{z} (usei \rho' como variável de integração radial para não confundir com o raio fixo \rho do contorno). Então
I_{\text{enc}}(\rho)=\iint_{\text{disco } \rho'\le\rho} J_z(\rho')\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\rho} 3\,\rho'\,(\rho'\,d\rho'\,d\varphi).
Agora execute a integral passo a passo:
I_{\text{enc}}(\rho) =3\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\rho}\rho'^{2}\,d\rho' =3\,(2\pi)\left[\frac{\rho'^{3}}{3}\right]_{0}^{\rho}.
O fator 3 cancela com o 1/3 do integral:
I_{\text{enc}}(\rho)=2\pi\,\rho^{3}.
Portanto a corrente que atravessa um disco de raio \rho é I_{\text{enc}}(\rho)=2\pi \rho^{3} (unidade: A).

Passo 4

Aplicar a Lei de Ampère para obter \vec{B} para 0\le\rho\le a.
A integral de Ampère deu B(\rho)\,(2\pi \rho)=\mu_{0} I_{\text{enc}}(\rho). Substituindo I_{\text{enc}}(\rho)=2\pi \rho^{3} obtemos
B(\rho)\,(2\pi \rho)=\mu_{0}\,(2\pi \rho^{3}).
Cancelando 2\pi em ambos os lados e dividindo por \rho\neq0 (no centro \rho=0 o limite será nulo, como veremos),
B(\rho)=\mu_{0}\,\rho^{2}.
Direção: \vec{B} é tangencial no sentido \hat{\varphi}. Logo, para 0\le\rho\le a,
\boxed{\vec{B}(\rho)=\mu_{0}\,\rho^{2}\,\hat{\varphi}.}
Observação didática rápida: no eixo \rho\to0 o campo tende a zero porque \rho^{2}\to0. Isso faz sentido fisicamente: muito perto do eixo a corrente encerrada é muito pequena.

Passo 5

Cálculo da corrente total que flui no condutor (item (b)):
A corrente total é I_{\text{total}}=I_{\text{enc}}(a)=2\pi a^{3}. Substituindo a=0,003\\ \text{m}:
a^{3}=(0,003)^{3}=2,7\times10^{-8}\\ \text{m}^{3}.
Portanto
I_{\text{total}}=2\pi\,(2,7\times10^{-8})=5,4\pi\times10^{-8}\\ \text{A}.
Avaliação numérica:
I_{\text{total}}\approx 1,70\times10^{-7}\\ \text{A}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(\rho)=\mu_{0}\,\rho^{2}\,\hat{\varphi}\quad\text{para }0\le\rho\le a.\n
\displaystyle I_{\text{total}}=2\pi a^{3}\approx 1,70\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.

Exercícios relacionados