Um cilindro de raio
é colocado no eixo
e é percorrido por uma densidade de corrente
na direção
. (a) Qual a função da intensidade de campo magnético na região definida do centro ao raio do cilindro? (b) Determine a corrente total que flui no condutor.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A função da intensidade do campo magnético na região do centro até o raio do cilindro (ou seja, para
). - (b) A corrente total que flui no condutor.
Informações dadas:
Observações imediatas úteis (só identificação, sem resolver ainda): a densidade de corrente depende do raio cilíndrico
e está dirigida ao longo do eixo
. Queremos o campo magnético dentro do condutor (do eixo até
) e a corrente total através da seção transversal.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Usamos a Lei de Ampère na forma integral:
Usamos a Lei de Ampère na forma integral:
onde:
-
é o campo magnético; -
é um elemento de comprimento ao longo da curva fechada ; -
é a permeabilidade do vácuo; -
é a corrente total que atravessa a superfície delimitada por .
Por simetria cilíndrica, o campo magnético produzido por uma corrente ao longo de
será tangencial (no sentido
), e depende apenas do raio
. Então escolhemos como curva de Ampère um círculo de raio
centrado no eixo. Nesse caso:
porque
é tangencial e constante em módulo ao longo do círculo de raio
. Assim precisamos calcular
, a corrente que passa pela seção circular de raio
.
Passo 3
Cálculo de
: integrar a densidade de corrente sobre a área do círculo de raio
.
Elemento de área em coordenadas cilíndricas:
. A densidade é
(usei
como variável de integração radial para não confundir com o raio fixo
do contorno). Então
Agora execute a integral passo a passo:
O fator
cancela com o
do integral:
Portanto a corrente que atravessa um disco de raio
é
(unidade: A).
Passo 4
Aplicar a Lei de Ampère para obter
para
.
A integral de Ampère deu
. Substituindo
obtemos
Cancelando
em ambos os lados e dividindo por
(no centro
o limite será nulo, como veremos),
Direção:
é tangencial no sentido
. Logo, para
,
Observação didática rápida: no eixo
o campo tende a zero porque
. Isso faz sentido fisicamente: muito perto do eixo a corrente encerrada é muito pequena.
Passo 5
Cálculo da corrente total que flui no condutor (item (b)):
A corrente total é
. Substituindo
:
Portanto
Avaliação numérica: