1. (PUC MG) Um estudante, utilizando equipamentos modernos, mediu o comprimento de onda e a frequência de cinco ondas eletromagnéticas, denominadas A, B, C, D e E, respectivamente, dentro de um meio desconhecido e escreveu a tabela seguinte:
A B C D E
f\left(10^{4} \mathrm{~Hz}\right) 0,75 1,00 1,87 2,50 5,00
\lambda\left(10^{6} \mathrm{~m}\right) 2,00 1,50 0,80 0,50 0,30
Considerando o comportamento de ondas eletromagnéticas e analisando os valores da tabela, uma das medidas contém um erro nos valores medidos. Assinale a opção que corresponde à letra da medida errada.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com frequência e comprimento de onda medidos para cinco ondas A,B,C,D,E dentro de um meio desconhecido. Eu peguei os dados diretamente da tabela. Os dados são (as frequências estão em unidades de 10^{4}\,\mathrm{Hz} e os comprimentos de onda em unidades de 10^{6}\,\mathrm{m}):
\begin{array}{c|ccccc} & A & B & C & D & E\\hline f\\ (10^{4}\,\mathrm{Hz}) & 0,75 & 1,00 & 1,87 & 2,50 & 5,00\\\ \lambda\\ (10^{6}\,\mathrm{m}) & 2,00 & 1,50 & 0,80 & 0,50 & 0,30 \end{array}
O que se pede: determinar qual das medidas (A, B, C, D ou E) contém um erro, ou seja, qual par (f,\lambda) é inconsistente com as outras medidas do mesmo meio.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): para uma onda qualquer há a relação fundamental entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
v = f\lambda.
Aqui:
  • v é a velocidade de propagação da onda (em \mathrm{m/s}),
  • f é a frequência (em \mathrm{Hz}),
  • \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).
Explicação didática: numa dada região homogênea e para o mesmo tipo de onda (aqui ondas eletromagnéticas no mesmo meio), a velocidade v deve ser a mesma para todas as medições (ou muito próxima, admitindo pequenas imprecisões experimentais). Logo, os produtos f\lambda calculados a partir da tabela devem ser iguais (ou muito próximos). Se um dos produtos for significativamente diferente, essa medida é a errada.

Passo 3

Conversão de unidades (passo importante para não errar contas). Os números na tabela são escalares com fatores:
f_{\text{real}} = (\text{número da tabela})\times 10^{4}\\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_{\text{real}} = (\text{número da tabela})\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.úú
Portanto, o produto dá
v = f_{\text{real}}\lambda_{\text{real}} = \bigl(\text{número}_f \times 10^{4}\bigr)\bigl(\text{número}_\lambda \times 10^{6}\bigr) = \bigl(\text{número}_f\cdot\text{número}_\lambda\bigr)\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}.úúúú
Ou seja, basta multiplicar os dois números da tabela (por exemplo 0,75 e 2,00) e multiplicar o resultado por 10^{10} para obter v em \mathrm{m/s}. Vou calcular esses produtos numericamente.

Passo 4

Cálculo para A (usei os valores da tabela):
\text{produto}_A = 0,75\times 2,00 = 1,50.
Logo
v_A = 1,50\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo para B (usei os valores da tabela):
\text{produto}_B = 1,00\times 1,50 = 1,50.
Logo
v_B = 1,50\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo para C (usei os valores da tabela). Multiplicação passo a passo:
1,87\times 0,80 = 1,87\times \tfrac{8}{10} = \tfrac{1,87\times 8}{10}.
1,87\times 8 = 14,96\quad\Rightarrow\quad \tfrac{14,96}{10}=1,496.
Logo
\text{produto}_C = 1,496\quad\text{e}\quad v_C = 1,496\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}.
Observação: v_C é muito próximo de 1,50\times10^{10}, diferença pequena (cerca de 0,004\times10^{10}) — aceitável como erro experimental pequeno.

Passo 7

Cálculo para D (usei os valores da tabela):
\text{produto}_D = 2,50\times 0,50 = 1,25.
Logo
v_D = 1,25\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}.
Comparação rápida: v_D difere de 1,50\times10^{10} em 0,25\times10^{10}, ou seja uma diferença relativa de
\frac{1,50-1,25}{1,50}=\frac{0,25}{1,50}\approx 0,1667\;(\text{ou }16{,}7\%),
o que é grande frente às diferenças observadas nas outras medidas.

Passo 8

Cálculo para E (usei os valores da tabela):
\text{produto}_E = 5,00\times 0,30 = 1,50,
logo
v_E = 1,50\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}.
Conclusão lógica (passo final de raciocínio): os valores de v obtidos para A,B,C,E são todos aproximadamente 1,50\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s} (diferença menor que 0,3\% para C), enquanto D fornece 1,25\times 10^{10}\\ \mathrm{m/s}, discrepando cerca de 16{,}7\%. Portanto a medida errada é a de letra D.

Resposta

D

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