Um cilindro condutor oco tem carga Q. Determine o campo elétrico dentro e fora do cilindro usando a Lei de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um cilindro condutor oco com carga $ Q $. A gente precisa determinar o campo elétrico dentro e fora desse cilindro usando a Lei de Gauss. Então, o conteúdo que vamos usar é a Eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações com simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $:
Isso significa que, se a gente escolher uma superfície gaussiana adequada, podemos simplificar bastante os cálculos do campo elétrico.
Passo 3
Vamos analisar o campo elétrico dentro do cilindro oco. Pense que “dentro” aqui significa dentro da cavidade oca, ou seja, na região central onde não há material condutor. Como o cilindro é condutor e está em equilíbrio eletrostático, toda a carga $ Q $ está distribuída na superfície externa. Não há carga no interior da cavidade. Então, a carga $ Q_{interno} = 0 $.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss para o interior, temos:
Como a superfície gaussiana é simétrica e o campo elétrico deve ser uniforme sobre ela, a única solução consistente é que o campo elétrico $ \vec{E} = 0 $ dentro da cavidade oca.
Passo 5
Agora, vamos analisar o campo elétrico fora do cilindro. Para isso, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica concêntrica com o cilindro condutor, de raio $ r $ maior que o raio do cilindro. A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é perpendicular a ela.
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss fora do cilindro, temos:
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral da superfície gaussiana (com $ L $ sendo o comprimento do cilindro).
Passo 7
Resolvendo para $ E $:
Esse é o campo elétrico fora do cilindro, dependente do raio $ r $.
Resposta
Dentro do cilindro oco, o campo elétrico $ \vec{E} = 0 $. Fora do cilindro, o campo elétrico é dado por:
onde $ r $ é a distância radial do eixo do cilindro, $ L $ é o comprimento do cilindro, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permittividade do vácuo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.