Um cilindro condutor oco tem carga Q. Determine o campo elétrico dentro e fora do cilindro usando a Lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um cilindro condutor oco com carga $ Q $. A gente precisa determinar o campo elétrico dentro e fora desse cilindro usando a Lei de Gauss. Então, o conteúdo que vamos usar é a Eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações com simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $:
varepsilon0
Isso significa que, se a gente escolher uma superfície gaussiana adequada, podemos simplificar bastante os cálculos do campo elétrico.

Passo 3

Vamos analisar o campo elétrico dentro do cilindro oco. Pense que “dentro” aqui significa dentro da cavidade oca, ou seja, na região central onde não há material condutor. Como o cilindro é condutor e está em equilíbrio eletrostático, toda a carga $ Q $ está distribuída na superfície externa. Não há carga no interior da cavidade. Então, a carga $ Q_{interno} = 0 $.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss para o interior, temos:
oint E cdot dA = 0varepsilon0 Rightarrow oint E cdot dA = 0
Como a superfície gaussiana é simétrica e o campo elétrico deve ser uniforme sobre ela, a única solução consistente é que o campo elétrico $ \vec{E} = 0 $ dentro da cavidade oca.

Passo 5

Agora, vamos analisar o campo elétrico fora do cilindro. Para isso, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica concêntrica com o cilindro condutor, de raio $ r $ maior que o raio do cilindro. A simetria cilíndrica nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é perpendicular a ela.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss fora do cilindro, temos:
oint E cdot dA = E cdot (2pi r L) = Qvarepsilon0
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral da superfície gaussiana (com $ L $ sendo o comprimento do cilindro).

Passo 7

Resolvendo para $ E $:
E
Esse é o campo elétrico fora do cilindro, dependente do raio $ r $.

Resposta

Dentro do cilindro oco, o campo elétrico $ \vec{E} = 0 $. Fora do cilindro, o campo elétrico é dado por:
E = 0
onde $ r $ é a distância radial do eixo do cilindro, $ L $ é o comprimento do cilindro, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permittividade do vácuo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.

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