Determine o vetor campo elétrico de um cilindro finito de carga uniformemente distribuída ao longo do volume.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos usar. O exercício quer que a gente determine o vetor campo elétrico criado por um cilindro finito que tem carga distribuída de forma uniforme ao longo de todo o seu volume. Isso envolve conceitos de Eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico a partir de uma distribuição de carga contínua. Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio da superposição e integrar as contribuições de todas as partes do cilindro para encontrar o campo elétrico total.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as características do cilindro. Suponha que o cilindro tenha comprimento $ L $, raio $ R $ e carga total $ Q $ distribuída uniformemente. A densidade de carga volumétrica $ \rho $ é dada por:
Isso significa que a carga está espalhada igualmente em todo o volume do cilindro.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico, vamos assumir um ponto de observação $ P $ fora do cilindro a uma distância $ r $ do eixo central do cilindro. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico nesse ponto será radial, ou seja, perpendicular ao eixo do cilindro.
Passo 4
Vamos usar a lei de Coulomb para calcular a contribuição de um elemento de carga $ dQ $ ao campo elétrico no ponto $ P $. A lei de Coulomb nos diz que:
onde $ s $ é a distância entre o elemento de carga $ dQ $ e o ponto $ P $, e $ \hat{\mathbf{s}} $ é o vetor unitário nessa direção.
Passo 5
Para integrar sobre todo o cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas. Consideramos um pequeno elemento de volume no cilindro com coordenadas $ (r’, \phi’, z’) $, onde $ r’ $ varia de 0 a $ R $, $ \phi’ $ de 0 a $ 2\pi $ e $ z’ $ de
a $ \frac{L}{2} $.
O elemento de volume é $ dV = r’ dr’ d\phi’ dz’ $, e a carga desse elemento é:
Passo 6
Devido à simetria cilíndrica, ao integrar sobre $ \phi’ $, as componentes horizontais do campo elétrico se cancelam, deixando apenas a componente radial. Assim, o campo elétrico total no ponto $ P $ será:
onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \mathbf{s} $ e a direção radial, e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção radial.
Passo 7
A distância $ s $ entre o elemento de carga e o ponto $ P $ pode ser expressa usando o teorema de Pitágoras na geometria cilíndrica:
Mas para simplificar a integração, assumimos que $ r’ $ é muito menor que $ r $ (ponto muito afastado), o que simplifica a expressão para $ s $.
Passo 8
Integrando sobre $ \phi’ $ de 0 a $ 2\pi $, e sobre $ z’ $ de
a $ \frac{L}{2} $, obtemos:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo a expressão para $ \rho $:
Resposta
O vetor campo elétrico gerado por um cilindro finito de carga uniformemente distribuída ao longo do volume, em um ponto fora do cilindro a uma distância $ r $ do eixo central, é dado por: