Um cilindro contém 0,100 mol de um gás ideal monoatômico. No estado inicial, o gás está sob pressão de 1,00 times 10^5 Pa e ocupa um volume igual a 2,50 times 10^3 m^3. O gás sofre uma expansão, atingindo o dobro de seu volume inicial. ache a temperatura final (em kelvins) e a pressão do gás, sabendo que a expansão é (i) isotérmica; (ii) isobárica; (iii) adiabática.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um cilindro com 0,100 mol de um gás ideal monoatômico. Inicialmente, a pressão é de 1,00 times 10^5 Pa e o volume é 2,50 times 10^3 m³. O gás expande até dobrar seu volume. Precisamos encontrar a temperatura final em kelvins e a nova pressão para três tipos de expansão: isotérmica, isobárica e adiabática. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura, além de conceitos específicos para cada tipo de expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de mols,
  • R é a constante dos gases ideais ( 8,314, J/(mol·K)),
  • T é a temperatura em kelvins.
Vamos calcular a temperatura inicial ( T1) para termos uma base:
T1 = P1 V1n R = (1,00 times 10^5, Pa) times (2,50 times 10^3, m³)0,100, mol times 8,314, J/(mol·K) ³
T1 = 2,50 times 10^8, Pa·m³0,8314, J/K approx 3,01 times 10^8, K ³
(Uma temperatura extremamente alta, mas vamos seguir com os cálculos teóricos.)

Passo 3

(i) Expansão Isotérmica

Na expansão isotérmica, a temperatura permanece constante, ou seja, T2 = T1.
Usando novamente a Lei dos Gases Ideais para encontrar a nova pressão ( P2):
P1 V1 = P2 V2
P2 = P1 V1V2 = 1,00 times 10^5, Pa times 2,50 times 10^3, m³5,00 times 10^3, m³ = 5,00 times 10^4, Pa ³³
Então, para a expansão isotérmica:
  • Temperatura final: T2 = 3,01 times 10^8, K
  • Pressão final: P2 = 5,00 times 10^4, Pa

Passo 4

(ii) Expansão Isobárica

Na expansão isobárica, a pressão permanece constante, ou seja, P2 = P1 = 1,00 times 10^5, Pa.
Usando a Lei dos Gases Ideais para encontrar a nova temperatura ( T2):
V1T1 = V2T2
T2 = T1 V2V1 = 3,01 times 10^8, K times 5,00 times 10^3, m³2,50 times 10^3, m³ = 6,02 times 10^8, K ³³
Então, para a expansão isobárica:
  • Temperatura final: T2 = 6,02 times 10^8, K
  • Pressão final: P2 = 1,00 times 10^5, Pa

Passo 5

(iii) Expansão Adiabática

Na expansão adiabática, não há troca de calor com o ambiente. Para gases ideais, usamos a relação:
P V^gamma = constante
Onde gamma é o coeficiente adiabático. Para um gás monoatômico, gamma = 53.
Então,
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Resolvendo para P2:
P2 = P1 ( V1V2 )^gamma = 1,00 times 10^5, Pa times ( 2,50 times 10^3, m³5,00 times 10^3, m³ )^5/3 ³³
Calculando:
( 2,50 times 10^35,00 times 10^3 )^5/3 = ( 0,5 )^5/3 approx 0,297
P2 = 1,00 times 10^5, Pa times 0,297 approx 2,97 times 10^4, Pa
Para encontrar T2, usamos a relação adiabática para temperatura e volume:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1 = 3,01 times 10^8, K times ( 2,50 times 10^35,00 times 10^3 )^2/3
( 0,5 )^2/3 approx 0,63
T2 = 3,01 times 10^8, K times 0,63 approx 1,90 times 10^8, K
Então, para a expansão adiabática:
  • Temperatura final: T2 = 1,90 times 10^8, K
  • Pressão final: P2 = 2,97 times 10^4, Pa

Resposta

Temperatura e pressão finais para cada tipo de expansão:
  • Isotérmica:
    • T2 = 3,01 times 10^8, K
    • P2 = 5,00 times 10^4, Pa
  • Isobárica:
    • T2 = 6,02 times 10^8, K
    • P2 = 1,00 times 10^5, Pa
  • Adiabática:
    • T2 = 1,90 times 10^8, K
    • P2 = 2,97 times 10^4, Pa

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