A função de onda para uma partícula em uma poça infinita de potencial é:
psi(x)= A cos (pi x2 L), & -L <= x <= L 0, & caso contrário á
Encontre o valor de A que normaliza psi(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula confinada em uma poça infinita de potencial, que é dada por:
psi(x)= A cos (pi x2 L), & -L <= x <= L 0, & caso contrário á
O objetivo é encontrar o valor da constante $ A $ que normaliza essa função de onda. Normalizar significa ajustar $ A $ de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral da função de onda ao quadrado sobre todo o espaço.

Passo 2

Sabemos que para a função de onda estar normalizada, a integral de $ |\psi(x)|^2 $ de menos infinito a mais infinito deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
|psi(x)|^2
Como $ \psi(x) = 0 $ fora do intervalo integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1 , a integral se reduz a este intervalo:
psi(x) = 0

Passo 3

Simplificando a expressão, já que $ A $ é uma constante real, temos:
A
Precisamos calcular essa integral para encontrar $ A $.

Passo 4

Lembramos da identidade trigonométrica que auxilia no cálculo de $ \cos^2(\theta) $:
cos^2(theta)
Aplicando isso na integral:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2

Passo 5

Dividindo a integral em duas partes:
A^2 [ 12 integral-L^L dx + 12 integral-L^L cos(pi xL) dx ] = 1
Calculamos cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
12 integral-L^L dx = 12 times (2L) = L
Segunda integral:
12 integral-L^L cos(pi xL) dx
Sabemos que a integral de $ \cos(kx) $ de cos(kx) a -a é zero, pois a função é ímpar em relação ao eixo $ y $. Portanto, essa segunda integral é zero.

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais:
A^2 (L + 0) = 1 Rightarrow A^2 L = 1
Resolvendo para $ A $:
A

Resposta

O valor da constante $ A $ que normaliza a função de onda é:
A

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