A função de onda para uma partícula em uma poça infinita de potencial é:
Encontre o valor de
que normaliza
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula confinada em uma poça infinita de potencial, que é dada por:
O objetivo é encontrar o valor da constante $ A $ que normaliza essa função de onda. Normalizar significa ajustar $ A $ de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral da função de onda ao quadrado sobre todo o espaço.
Passo 2
Sabemos que para a função de onda estar normalizada, a integral de $ |\psi(x)|^2 $ de menos infinito a mais infinito deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
Como $ \psi(x) = 0 $ fora do intervalo
, a integral se reduz a este intervalo:
Passo 3
Simplificando a expressão, já que $ A $ é uma constante real, temos:
Precisamos calcular essa integral para encontrar $ A $.
Passo 4
Lembramos da identidade trigonométrica que auxilia no cálculo de $ \cos^2(\theta) $:
Aplicando isso na integral:
Passo 5
Dividindo a integral em duas partes:
Calculamos cada integral separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que a integral de $ \cos(kx) $ de
a
é zero, pois a função é ímpar em relação ao eixo $ y $. Portanto, essa segunda integral é zero.
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais:
Resolvendo para $ A $:
Resposta
O valor da constante $ A $ que normaliza a função de onda é: