Considere a função de onda:
Determine
que normaliza a função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
O objetivo aqui é encontrar o valor de $ A $ que normaliza essa função de onda. Ou seja, queremos garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo
seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda ao longo de todo o espaço seja igual a 1:
Isso garante que a partícula está definitivamente dentro do intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $. Como $ \psi(x) $ é real, temos:
Expandindo o quadrado, fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente no intervalo
:
-
Integral de $ \sin^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) $:Sabemos que:Então, para $ n = 1 $:
-
Integral de $ \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right) \sin \left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $:Usando a identidade trigonométrica:temos:Integrando, obtemos zero, já que as integrais de cossenos com múltiplos inteiros de $ \pi/L $ sobre
cancelam. -
Integral de $ \sin^2 \left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $:Similar ao primeiro termo:
Passo 5
Somando todas as integrais, temos:
Para que a função seja normalizada, esse valor deve ser igual a 1:
Passo 6
Resolvendo para $ A $:
Resposta
O valor de $ A $ que normaliza a função de onda é: