Considere a função de onda:
psi(x)=A[sin (pi xL)+sin (2 pi xL)], x in[0, L]
Determine A que normaliza a função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
psi(x) = A[sin (pi xL) + sin (2 pi xL)], x in [0, L]
O objetivo aqui é encontrar o valor de $ A $ que normaliza essa função de onda. Ou seja, queremos garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo A seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda ao longo de todo o espaço seja igual a 1:
integral0^L |psi(x)|^2 , dx = 1
Isso garante que a partícula está definitivamente dentro do intervalo [0, L].

Passo 3

Vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $. Como $ \psi(x) $ é real, temos:
|psi(x)|^2
Expandindo o quadrado, fica:
psi(x)

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente no intervalo [0, L]:
  1. Integral de $ \sin^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) $:
    Sabemos que:
    sin^2 (pi xL)
    Então, para $ n = 1 $:
    integral0^L sin^2 (n pi xL) dx = L2
  2. Integral de $ \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right) \sin \left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $:
    Usando a identidade trigonométrica:
    n = 1
    temos:
    integral0^L sin^2 (pi xL) dx = L2
    Integrando, obtemos zero, já que as integrais de cossenos com múltiplos inteiros de $ \pi/L $ sobre sin (pi xL) sin (2 pi xL) cancelam.
  3. Integral de $ \sin^2 \left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $:
    Similar ao primeiro termo:
    2 sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B),

Passo 5

Somando todas as integrais, temos:
integral0^L |psi(x)|^2 dx = A^2 ( L2 + 0 + L2 ) = A^2 L
Para que a função seja normalizada, esse valor deve ser igual a 1:
A^2 L = 1

Passo 6

Resolvendo para $ A $:
A

Resposta

O valor de $ A $ que normaliza a função de onda é:
A

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