Um cilindro curto de bronze de diâmetro D=10 cm e altura H=12 cm está inicialmente a uma temperatura Ti=120^circ C. O cilindro é colocado no ar atmosférico a 25^circ C, onde ocorre transferência de calor por convecção, com h=60 W / m^2 C. Calcule a temperatura no centro do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de bronze com diâmetro de 10 cm e altura de 12 cm, que começa com uma temperatura de 120°C. Esse cilindro é colocado no ar ambiente, que está a 25°C, e o calor vai sair por convecção com um coeficiente de transferência de calor $ h = 60 , W/m^2°C $. Nosso objetivo é descobrir qual a temperatura no centro do cilindro depois que ele começar a esfriar. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor se move nesse cilindro. Como o cilindro está esquentado no centro e o ar está mais frio, o calor vai se propagar do centro para a superfície do cilindro por condução. A transferência de calor por condução dentro do cilindro pode ser descrita pela lei de Fourier:
q = -k A dTdr
Onde:
  • $ q $ é a taxa de transferência de calor,
  • $ k $ é a condutividade térmica do material (bronze),
  • $ A $ é a área através da qual o calor está se movendo,
  • $ \frac{dT}{dr} $ é o gradiente de temperatura.

Passo 3

Agora, como o cilindro está em equilíbrio térmico, a quantidade de calor que sai por condução no centro deve ser igual à quantidade que sai por convecção na superfície. A transferência de calor por convecção na superfície é dada por:
q = h As (Ts - Tinfty)
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • $ A_s $ é a área superficial do cilindro,
  • $ T_s $ é a temperatura na superfície do cilindro,
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura do ambiente.

Passo 4

A área superficial $ A_s $ de um cilindro é calculada por:
As
Onde:
  • $ r $ é o raio do cilindro,
  • $ H $ é a altura do cilindro.
Dado que o diâmetro $ D = 10 , cm $, o raio $ r = 5 , cm = 0,05 , m $, e a altura $ H = 12 , cm = 0,12 , m $.
Então,
As = 2pi r H

Passo 5

Precisamos também da condutividade térmica do bronze. Geralmente, para o bronze, $ k \approx 100 , W/m°C $. Agora, igualamos as duas expressões de $ q $:
k approx 100 , W/m°C
Assumindo que a temperatura no centro $ T_c $ é igual a $ T_s $ (em equilíbrio, a temperatura central se estabiliza), podemos rearranjar para encontrar $ T_c $:
q
Mas como $ q = k A \frac{dT}{dr} $, precisamos integrar a equação de condução para encontrar a diferença de temperatura.

Passo 6

A solução para a condução radial em um cilindro é:
T(r) = Tinfty + q2pi k L ln(Rr)
Onde:
  • $ L $ é o comprimento (altura) do cilindro,
  • $ R $ é o raio do cilindro,
  • $ r $ é a posição radial.
No centro do cilindro, $ r = 0 $, mas o logaritmo de zero não é definido. Isso indica que, na prática, a temperatura no centro $ T_c $ pode ser significativamente mais alta, mas para simplificar, vamos considerar que a maior parte do gradiente de temperatura ocorre próximo à superfície.
Então, uma aproximação comum é considerar que a temperatura no centro é aproximadamente:
L

Passo 7

Agora, substituímos os valores:
q = h As (Ts - Tinfty) q = 60 times 0,0377 times (120 - 25) q = 60 times 0,0377 times 95 q approx 60 times 3,5815 q approx 214,89 , W
Então,
Tc approx 25 + 214,89 times 0,124 times 100 Tc approx 25 + 25,7868400 Tc approx 25 + 0,064 Tc approx 25,06 , °C

Resposta

A temperatura no centro do cilindro é de aproximadamente $ 25,06 , °C $.

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