Um cilindro curto de bronze de diâmetro
e altura
está inicialmente a uma temperatura
. O cilindro é colocado no ar atmosférico a
, onde ocorre transferência de calor por convecção, com
. Calcule a temperatura no centro do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de bronze com diâmetro de 10 cm e altura de 12 cm, que começa com uma temperatura de 120°C. Esse cilindro é colocado no ar ambiente, que está a 25°C, e o calor vai sair por convecção com um coeficiente de transferência de calor $ h = 60 , W/m^2°C $. Nosso objetivo é descobrir qual a temperatura no centro do cilindro depois que ele começar a esfriar. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o calor se move nesse cilindro. Como o cilindro está esquentado no centro e o ar está mais frio, o calor vai se propagar do centro para a superfície do cilindro por condução. A transferência de calor por condução dentro do cilindro pode ser descrita pela lei de Fourier:
Onde:
- $ q $ é a taxa de transferência de calor,
- $ k $ é a condutividade térmica do material (bronze),
- $ A $ é a área através da qual o calor está se movendo,
- $ \frac{dT}{dr} $ é o gradiente de temperatura.
Passo 3
Agora, como o cilindro está em equilíbrio térmico, a quantidade de calor que sai por condução no centro deve ser igual à quantidade que sai por convecção na superfície. A transferência de calor por convecção na superfície é dada por:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
- $ A_s $ é a área superficial do cilindro,
- $ T_s $ é a temperatura na superfície do cilindro,
- $ T_{\infty} $ é a temperatura do ambiente.
Passo 4
A área superficial $ A_s $ de um cilindro é calculada por:
Onde:
- $ r $ é o raio do cilindro,
- $ H $ é a altura do cilindro.
Dado que o diâmetro $ D = 10 , cm $, o raio $ r = 5 , cm = 0,05 , m $, e a altura $ H = 12 , cm = 0,12 , m $.
Então,
Passo 5
Precisamos também da condutividade térmica do bronze. Geralmente, para o bronze, $ k \approx 100 , W/m°C $. Agora, igualamos as duas expressões de $ q $:
Assumindo que a temperatura no centro $ T_c $ é igual a $ T_s $ (em equilíbrio, a temperatura central se estabiliza), podemos rearranjar para encontrar $ T_c $:
Mas como $ q = k A \frac{dT}{dr} $, precisamos integrar a equação de condução para encontrar a diferença de temperatura.
Passo 6
A solução para a condução radial em um cilindro é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento (altura) do cilindro,
- $ R $ é o raio do cilindro,
- $ r $ é a posição radial.
No centro do cilindro, $ r = 0 $, mas o logaritmo de zero não é definido. Isso indica que, na prática, a temperatura no centro $ T_c $ pode ser significativamente mais alta, mas para simplificar, vamos considerar que a maior parte do gradiente de temperatura ocorre próximo à superfície.
Então, uma aproximação comum é considerar que a temperatura no centro é aproximadamente:
Passo 7
Agora, substituímos os valores:
Então,
Resposta
A temperatura no centro do cilindro é de aproximadamente $ 25,06 , °C $.