Considere um ferro de 1000 W cuja base é feita de alumínio com 0.5 cm de espessura ( rho=2770 kg / m^3, Cp=875 J / Kg ^circ C, alpha=7.3 times 10^-5 m^2 / s ). O prato da base tem uma superfície de 0.03 m^2. Inicialmente, o ferro está em equilíbrio térmico com o ambiente a 22^circ C. Considerando h=12 W / m^2 ^0 C e assumindo que 85 % do calor gerado no fio da resistência é transferido para o prato, determine o quanto tempo levará para a temperatura do prato atingir 140^circ C. É realista a suposição de que a temperatura do prato permanece uniforme durante todo tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve transferência de calor, especificamente lidando com um ferro elétrico feito de alumínio. O que precisamos fazer é calcular quanto tempo leva para a temperatura da base do ferro subir de 22°C para 140°C, considerando que 85% do calor gerado é transferido para a base. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor e propriedades térmicas do alumínio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a quantidade de calor que precisa ser transferida para a base do ferro para aumentar sua temperatura de 22°C para 140°C. A fórmula para calcular o calor necessário ($ Q $) é:
Q
onde:
  • $ m $ é a massa da base,
  • $ C_p $ é a capacidade calorífica específica do alumínio,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos calcular a massa ($ m m \rho rho íé³ d d éá A $) é 0,03 m². A massa é dada por:
A
Substituindo os valores:
m = rho times A times d

Passo 4

Agora, vamos calcular o calor necessário ($ Q $) usando a fórmula mencionada:
Q
Q = 0,4155 , kg times 875 , J/kg°C times (140°C - 22°C)

Passo 5

Sabemos que apenas 85% da potência do ferro está sendo usada para aquecer a base. Então, a potência efetiva ($ P_{efetiva} $) é:
Pefetiva

Passo 6

Para encontrar o tempo ($ t $) necessário para transferir o calor $ Q $ com a potência $ P_{efetiva} $, usamos:
t
Convertendo $ Q $ para Joules:
Q
Então,
Pefetiva

Passo 7

Sobre a suposição de que a temperatura do prato permanece uniforme durante todo o tempo: Na realidade, isso não é totalmente realista. O calor leva algum tempo para se espalhar uniformemente pela base de alumínio devido à sua condutividade térmica finita ($ \alpha = 7,3 \times 10^{-5} , m^2/s $). No entanto, para simplificar os cálculos, assumimos que a temperatura é uniforme, o que é uma boa aproximação se a base for relativamente fina e o tempo considerado não for muito longo.

Resposta

O tempo necessário para a temperatura do prato atingir 140°C é aproximadamente 51 segundos. Além disso, a suposição de que a temperatura do prato permanece uniforme durante todo o tempo não é totalmente realista, pois o calor leva algum tempo para se distribuir igualmente pela base, embora essa aproximação seja válida para simplificações.

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