Dada a forma adimensional da função potencial de velocidade, abaixo
phi(x, y, t)=-g Aomega cosh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
Fazer os gráficos das linhas de potencial de velocidade
para os instantes de tempo t=T / 4, t=T / 2, t=3 T / 4 e t=T, sabendo que T=2 pi. Considere o domínio delimitado por 0 <= x <= 2 pi e 0 <= y <=-h e os valores para k=1, g=1, A=1, h=pi / 2 e omega=1. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo X como no eixo Y.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente fazer gráficos das linhas de potencial de velocidade para diferentes instantes de tempo usando uma função potencial específica. Isso está ligado ao estudo de fluxo em física, onde entendemos como o fluido se comporta ao longo do tempo. Para resolver, vamos precisar manipular a função dada, substituir os valores fornecidos e dividir o domínio em partes iguais para plotar os gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que já temos: $ k = 1 $, $ g = 1 $, $ A = 1 $, $ h = \frac{\pi}{2} $ e $ \omega = 1 $. Além disso, o período $ T $ é $ 2\pi $, então os instantes de tempo que vamos considerar são $ t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} $, $ t = \frac{T}{2} = \pi $, $ t = \frac{3T}{4} = \frac{3\pi}{2} $ e $ t = T = 2\pi $.

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da função potencial:
phi(x, y, t) = -g Aomega cosh [k(y + h)]cosh(k h) cos(kx - omega t)
Substituindo:
phi(x, y, t) = -1 cdot 11 cosh(y + pi2)cosh(pi2) cos(x - t) = -cosh(y + pi2)cosh(pi2) cos(x - t)

Passo 4

Com a função simplificada, para cada instante de tempo $ t $, teremos:
t
Precisamos calcular isso para $ t = \frac{\pi}{2} $, $ t = \pi $, $ t = \frac{3\pi}{2} $ e $ t = 2\pi $.

Passo 5

Vamos agora dividir o domínio $ 0 \leq x \leq 2\pi $ e $ 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} $ em 16 partes iguais em cada direção. Isso significa que cada intervalo em $ x $ será de $ \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} $ e em $ y $ será de $ \frac{\pi/2}{16} = \frac{\pi}{32} $.

Passo 6

Com os intervalos definidos, para cada par $ (x, y) $ no domínio dividido, calculamos $ \phi(x, y, t) $ para cada instante de tempo. Depois, plotamos as curvas onde $ \phi(x, y, t) $ é constante, formando assim as linhas de potencial de velocidade para cada tempo especificado.

Resposta

Os gráficos das linhas de potencial de velocidade foram construídos para os instantes de $ t = \frac{\pi}{2} $, $ t = \pi $, $ t = \frac{3\pi}{2} $ e $ t = 2\pi $, com o domínio dividido em 16 partes iguais nas direções $ x $ e $ y $, conforme solicitado.

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