Um cilindro curto de bronze de diâmetro D=10 cm e altura H=12 cm está inicialmente a uma temperatura Ti=120^circ C. O cilindro é colocado no ar atmosférico a 25^circ C, onde ocorre transferência de calor por convecção, com h=60 W / m^2 C. Calcule a temperatura no centro da superfície do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cilindro curto de bronze com diâmetro de 10 cm e altura de 12 cm, inicialmente a 120°C. Esse cilindro foi colocado em um ambiente com ar a 25°C, e o calor está sendo transferido por convecção, com um coeficiente de convecção de 60 W/m²°C. A pergunta é: qual a temperatura no centro da superfície do cilindro 15 minutos depois de começar o resfriamento?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a condução de calor em objetos sólidos e a convecção na superfície. Vamos precisar aplicar a Lei de Resfriamento de Newton e, dependendo do caso, podemos usar o método de capacitância concentrada para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo: temos um cilindro quente que está esfriando no ar ambiente. A transferência de calor está ocorrendo por convecção na superfície. A temperatura do cilindro vai diminuir com o tempo até se igualar à temperatura do ambiente.

Passo 3

Vamos começar calculando a área da superfície do cilindro, porque a convecção depende dessa área. A área superficial $ A $ de um cilindro é dada por:
A
Onde:
  • $ r $ é o raio do cilindro
  • $ h $ é a altura do cilindro
Primeiro, precisamos converter o diâmetro para raio:
A = 2pi r (r + h)
E a altura já está em metros:
r
Agora, calculando a área superficial:
h

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa do cilindro. Para isso, precisamos do volume e da densidade do bronze. A densidade do bronze varia, mas vamos usar um valor aproximado de $ \rho = 8800,kg/m^3 $.
Primeiro, calculamos o volume $ V $ do cilindro:
rho = 8800,kg/m^3
Agora, a massa $ m $:
V

Passo 5

Precisamos verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada (também conhecido como método do tempo característico). Para isso, calculamos o número de Biot ($ Bi $), que nos diz se a temperatura dentro do objeto é uniforme ou não.
O número de Biot é dado por:
Bi
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de convecção
  • $ L_c $ é o comprimento característico, que para um cilindro é a razão entre o volume e a área superficial: $ L_c = \frac{V}{A} $
  • $ k $ é a condutividade térmica do bronze. Vamos considerar $ k = 60,W/m°C $ (valor aproximado para o bronze).
Primeiro, calculamos $ L_c $:
Bi = h Lck
Agora, o número de Biot:
h
Como $ Bi < 0,1 $, podemos usar o método de capacitância concentrada, assumindo que a temperatura dentro do cilindro é uniforme ao longo do tempo.

Passo 6

Agora, usando o método de capacitância concentrada, a variação de temperatura com o tempo é dada por:
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) e^-h Arho V cp t
Onde:
  • $ T(t) $ é a temperatura no tempo $ t $
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura ambiente
  • $ T_i $ é a temperatura inicial
  • $ h $ é o coeficiente de convecção
  • $ A $ é a área superficial
  • $ \rho $ é a densidade
  • $ V $ é o volume
  • $ c_p $ é a capacidade térmica específica do bronze
  • $ t $ é o tempo
Precisamos do valor de $ c_p $, a capacidade térmica específica. Para o bronze, um valor típico é $ c_p = 380,J/kg°C $.

Passo 7

Vamos substituir todos os valores na equação:
T(t) = 25,°C + (120,°C - 25,°C) e^-60,W/m^2°C times 0,0534,m^28,2896,kg times 0,000942,m^3 times 380,J/kg°C t
Primeiro, calculamos o expoente:
h Arho V cp = 60 times 0,05348,2896 times 380 approx 3,2043150,048 approx 0,001016,s^-1
Agora, o tempo $ t $ precisa estar em segundos. São 15 minutos:
t
Agora, multiplicamos:
t = 15 times 60 = 900,s
Então, a equação fica:
0,001016 times 900 approx 0,9144
Calculando $ e^{-0,9144} $:
T(900) = 25 + 95 times e^-0,9144
Então:
e^-0,9144

Resposta

A temperatura no centro da superfície do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento é aproximadamente 63,1°C.

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