Um cilindro curto de bronze de diâmetro
e altura
está inicialmente a uma temperatura
. O cilindro é colocado no ar atmosférico a
, onde ocorre transferência de calor por convecção, com
. Calcule a temperatura no centro da superfície do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cilindro curto de bronze com diâmetro de 10 cm e altura de 12 cm, inicialmente a 120°C. Esse cilindro foi colocado em um ambiente com ar a 25°C, e o calor está sendo transferido por convecção, com um coeficiente de convecção de 60 W/m²°C. A pergunta é: qual a temperatura no centro da superfície do cilindro 15 minutos depois de começar o resfriamento?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a condução de calor em objetos sólidos e a convecção na superfície. Vamos precisar aplicar a Lei de Resfriamento de Newton e, dependendo do caso, podemos usar o método de capacitância concentrada para simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo: temos um cilindro quente que está esfriando no ar ambiente. A transferência de calor está ocorrendo por convecção na superfície. A temperatura do cilindro vai diminuir com o tempo até se igualar à temperatura do ambiente.
Passo 3
Vamos começar calculando a área da superfície do cilindro, porque a convecção depende dessa área. A área superficial $ A $ de um cilindro é dada por:
Onde:
- $ r $ é o raio do cilindro
- $ h $ é a altura do cilindro
Primeiro, precisamos converter o diâmetro para raio:
E a altura já está em metros:
Agora, calculando a área superficial:
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa do cilindro. Para isso, precisamos do volume e da densidade do bronze. A densidade do bronze varia, mas vamos usar um valor aproximado de $ \rho = 8800,kg/m^3 $.
Primeiro, calculamos o volume $ V $ do cilindro:
Agora, a massa $ m $:
Passo 5
Precisamos verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada (também conhecido como método do tempo característico). Para isso, calculamos o número de Biot ($ Bi $), que nos diz se a temperatura dentro do objeto é uniforme ou não.
O número de Biot é dado por:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de convecção
- $ L_c $ é o comprimento característico, que para um cilindro é a razão entre o volume e a área superficial: $ L_c = \frac{V}{A} $
- $ k $ é a condutividade térmica do bronze. Vamos considerar $ k = 60,W/m°C $ (valor aproximado para o bronze).
Primeiro, calculamos $ L_c $:
Agora, o número de Biot:
Como $ Bi < 0,1 $, podemos usar o método de capacitância concentrada, assumindo que a temperatura dentro do cilindro é uniforme ao longo do tempo.
Passo 6
Agora, usando o método de capacitância concentrada, a variação de temperatura com o tempo é dada por:
Onde:
- $ T(t) $ é a temperatura no tempo $ t $
- $ T_{\infty} $ é a temperatura ambiente
- $ T_i $ é a temperatura inicial
- $ h $ é o coeficiente de convecção
- $ A $ é a área superficial
- $ \rho $ é a densidade
- $ V $ é o volume
- $ c_p $ é a capacidade térmica específica do bronze
- $ t $ é o tempo
Precisamos do valor de $ c_p $, a capacidade térmica específica. Para o bronze, um valor típico é $ c_p = 380,J/kg°C $.
Passo 7
Vamos substituir todos os valores na equação:
Primeiro, calculamos o expoente:
Agora, o tempo $ t $ precisa estar em segundos. São 15 minutos:
Agora, multiplicamos:
Então, a equação fica:
Calculando $ e^{-0,9144} $:
Então:
Resposta
A temperatura no centro da superfície do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento é aproximadamente 63,1°C.