Uma partícula livre de massa m é o número de onda k1 está viajando para a direita. No ponto x=0, o potencial muda bruscamente de 0 para v0 e permanece com este valor para todos os valores positivo de x. Se a energia inicial da partícula é E=hbar^2 k1^22 m=2 V0:
Qual é o valor do coeficiente de transmissão T? Para cada milhão de partículas com o número de onda k1 que incidem no degrau de potencial, quantas continuam a viajar no sentido positivo do eixo x? Como se compara este valor com a previsão clássica?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo para a direita com um número de onda $ k_1 $. No ponto $ x = 0 $, o potencial muda de 0 para $ V_0 $ e fica assim para todo $ x > 0 $. A energia da partícula é $ E = \frac{\hbar^{2} k_{1}^{2}}{2 m} = 2 V_{0} $. A gente precisa descobrir:
  1. O coeficiente de transmissão $ T $.
  2. Quantas, de cada milhão de partículas que chegam ao degrau de potencial, continuam indo para a direita.
  3. Como isso se compara com o que a física clássica prevê.
Vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especialmente sobre como partículas se comportam quando encontram mudanças no potencial. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de transmissão $ T $. Em Mecânica Quântica, quando uma partícula encontra uma barreira de potencial, há uma certa probabilidade dela passar por essa barra ou ser refletida. O coeficiente de transmissão $ T $ nos diz a fração da partícula que consegue atravessar a barreira.
Aqui, nossa barreira de potencial muda de 0 para $ V_0 $ em $ x = 0 $. A energia da partícula é $ E = 2 V_0 $, ou seja, a energia é maior que o potencial da barreira.

Passo 3

Para encontrar $ T $, usamos a fórmula do coeficiente de transmissão para um degrau de potencial, que é dada por:
T
onde $ k_1 $ é o número de onda antes do degrau ($ x < 0 $) e $ k_2 $ é o número de onda depois do degrau ($ x > 0 $). O número de onda $ k $ está relacionado à energia $ E $ e ao potencial $ V $ por:
T = 4 k1 k2(k1 + k2)^2

Passo 4

Vamos calcular $ k_1 $ e $ k_2 $:
Para $ x < 0 $ (antes do degrau):
k1
Para $ x > 0 $ (depois do degrau):
k2

Passo 5

Agora, vamos substituir $ k_1 $ e $ k_2 $ na fórmula de $ T $:
k1
Substituindo os valores que encontramos:
k2
Vamos simplificar:
T
Simplificando os termos:
T = 4 k1 k2(k1 + k2)^2
Isso simplifica para:
k1 = 2 raizm V0hbar^2, k2 = raiz2 m V0hbar^2

Passo 6

Vamos calcular numéricamente:
Primeiro, calcule o denominador:
(2 + raiz2)^2 = 4 + 4 raiz2 + 2 = 6 + 4 raiz2
Então:
T = 8 raiz26 + 4 raiz2 = 8 raiz22 (3 + 2 raiz2) = 4 raiz23 + 2 raiz2
Multiplicando numerador e denominador por $ 3 - 2 \sqrt{2} $ para racionalizar:
3 - 2 raiz2
Aproximando $ \sqrt{2} \approx 1,4142 $:
T = 4 raiz2 (3 - 2 raiz2)(3 + 2 raiz2)(3 - 2 raiz2) = 12 raiz2 - 8 cdot 29 - (2 raiz2)^2 = 12 raiz2 - 169 - 8 = 12 raiz2 - 16

Passo 7

Então, o coeficiente de transmissão $ T $ é aproximadamente 0,97. Isso significa que 97% das partículas conseguem atravessar o degrau de potencial.

Passo 8

Agora, para cada milhão de partículas que incidem no degrau, quantas continuam indo para a direita? Simplesmente multiplicamos:
1.000.000 times T = 1.000.000 times 0,97 = 970.000
Então, 970.000 partículas continuam viajando no sentido positivo do eixo $ x $.

Passo 9

Comparando com a previsão clássica: na física clássica, se a energia da partícula é maior que o potencial da barreira ($ E > V_0 $), todas as partículas deveriam atravessar a barreira sem problemas, ou seja, $ T_{clássico} = 1 $ (100%).
No nosso caso quântico, $ T \approx 0,97 $, um pouco menor que 1. Isso mostra que, mesmo com energia maior que o potencial, há uma pequena probabilidade de reflexão devido aos efeitos quânticos, algo que a física clássica não prevê.

Resposta

O coeficiente de transmissão $ T $ é aproximadamente 0,97. Então, para cada milhão de partículas que chegam ao degrau de potencial, cerca de 970.000 continuam viajando para a direita. Isto é ligeiramente menor do que a previsão clássica, que diria que todas as partículas atravessariam a barreira.

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