Uma partícula livre de massa m é o número de onda
está viajando para a direita. No ponto
, o potencial muda bruscamente de 0 para
e permanece com este valor para todos os valores positivo de x. Se a energia inicial da partícula é
:
Qual é o valor do coeficiente de transmissão
? Para cada milhão de partículas com o número de onda
que incidem no degrau de potencial, quantas continuam a viajar no sentido positivo do eixo
? Como se compara este valor com a previsão clássica?
Qual é o valor do coeficiente de transmissão
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo para a direita com um número de onda $ k_1 $. No ponto $ x = 0 $, o potencial muda de 0 para $ V_0 $ e fica assim para todo $ x > 0 $. A energia da partícula é $ E = \frac{\hbar^{2} k_{1}^{2}}{2 m} = 2 V_{0} $. A gente precisa descobrir:
- O coeficiente de transmissão $ T $.
- Quantas, de cada milhão de partículas que chegam ao degrau de potencial, continuam indo para a direita.
- Como isso se compara com o que a física clássica prevê.
Vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especialmente sobre como partículas se comportam quando encontram mudanças no potencial. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de transmissão $ T $. Em Mecânica Quântica, quando uma partícula encontra uma barreira de potencial, há uma certa probabilidade dela passar por essa barra ou ser refletida. O coeficiente de transmissão $ T $ nos diz a fração da partícula que consegue atravessar a barreira.
Aqui, nossa barreira de potencial muda de 0 para $ V_0 $ em $ x = 0 $. A energia da partícula é $ E = 2 V_0 $, ou seja, a energia é maior que o potencial da barreira.
Passo 3
Para encontrar $ T $, usamos a fórmula do coeficiente de transmissão para um degrau de potencial, que é dada por:
onde $ k_1 $ é o número de onda antes do degrau ($ x < 0 $) e $ k_2 $ é o número de onda depois do degrau ($ x > 0 $). O número de onda $ k $ está relacionado à energia $ E $ e ao potencial $ V $ por:
Passo 4
Vamos calcular $ k_1 $ e $ k_2 $:
Para $ x < 0 $ (antes do degrau):
Para $ x > 0 $ (depois do degrau):
Passo 5
Agora, vamos substituir $ k_1 $ e $ k_2 $ na fórmula de $ T $:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:
Simplificando os termos:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos calcular numéricamente:
Primeiro, calcule o denominador:
Então:
Multiplicando numerador e denominador por $ 3 - 2 \sqrt{2} $ para racionalizar:
Aproximando $ \sqrt{2} \approx 1,4142 $:
Passo 7
Então, o coeficiente de transmissão $ T $ é aproximadamente 0,97. Isso significa que 97% das partículas conseguem atravessar o degrau de potencial.
Passo 8
Agora, para cada milhão de partículas que incidem no degrau, quantas continuam indo para a direita? Simplesmente multiplicamos:
Então, 970.000 partículas continuam viajando no sentido positivo do eixo $ x $.
Passo 9
Comparando com a previsão clássica: na física clássica, se a energia da partícula é maior que o potencial da barreira ($ E > V_0 $), todas as partículas deveriam atravessar a barreira sem problemas, ou seja, $ T_{clássico} = 1 $ (100%).
No nosso caso quântico, $ T \approx 0,97 $, um pouco menor que 1. Isso mostra que, mesmo com energia maior que o potencial, há uma pequena probabilidade de reflexão devido aos efeitos quânticos, algo que a física clássica não prevê.
Resposta
O coeficiente de transmissão $ T $ é aproximadamente 0,97. Então, para cada milhão de partículas que chegam ao degrau de potencial, cerca de 970.000 continuam viajando para a direita. Isto é ligeiramente menor do que a previsão clássica, que diria que todas as partículas atravessariam a barreira.