Um cilindro equilátero que tem 128p dm^3 de volume, tem área total, em dm², igual a
(A) 32 pi
(B) 48 pi.
(C) 64 pi.
(D) 96 pi.
(E) 128 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um cilindro que é “equilátero” e tem um volume de 128pi , dm³³. Nosso objetivo é descobrir qual é a área total desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume e área de um cilindro, além de entender o que significa ser um cilindro equilátero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas básicas:
  • Volume do cilindro: V = pi r² h², onde r é o raio da base e h é a altura.
  • Área total do cilindro: A = 2pi r² + 2pi r h². Isso inclui as duas bases (círculos) e a área lateral.

Passo 3

Agora, como o cilindro é “equilátero”, isso geralmente significa que a altura ( h) é igual ao diâmetro da base. Lembrando que o diâmetro ( d) é o dobro do raio, ou seja, d = 2r. Então, temos:
h = d = 2r

Passo 4

Vamos usar a fórmula do volume para encontrar o raio. Sabemos que:
V = pi r² h = 128pi ²
Substituindo h por 2r:
pi r² times 2r = 128pi ²
2pi r³ = 128pi ³

Passo 5

Agora, vamos resolver para ³:
2pi r³ = 128pi ³
Dividindo ambos os lados por 2pi:
r³ = 128pi2pi = 64 ³
Então,
r = raiz[3]64 = 4 , dm

Passo 6

Com o raio encontrado, podemos encontrar a altura:
h = 2r = 2 times 4 = 8 , dm

Passo 7

Agora, vamos calcular a área total usando a fórmula:
A = 2pi r² + 2pi r h ²
Substituindo os valores:
A = 2pi (4)² + 2pi (4)(8) ²
A = 2pi (16) + 2pi (32)
A = 32pi + 64pi
A = 96pi , dm² ²

Resposta

A área total do cilindro é 96pi , dm²². Portanto, a resposta correta é a opção (D) 96 pi.

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