O volume de um cone equilátero é equivalente ao volume de um cubo de aresta
. O raio da base do cone mede
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o volume de um cone equilátero é igual ao volume de um cubo cuja aresta mede
cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da base desse cone. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume tanto do cubo quanto do cone e usar um pouco de álgebra para achar o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cubo. A fórmula para o volume de um cubo é:
onde
é a aresta do cubo. Aqui,
cm. Vamos substituir:
Então, o volume do cubo é
cm³.
Passo 3
Agora, sabemos que o volume do cone é igual ao volume do cubo, ou seja,
cm³. A fórmula do volume do cone é:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone. Já que o cone é equilátero, isso significa que a altura
é igual ao diâmetro da base. Porém, vamos focar em expressar
em termos de
.
Em um cone equilátero, a altura forma um triângulo retângulo com o raio e a geratriz. A relação fica assim:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume do cone:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Resposta
A resposta correta é a opção c)
.