O volume de um cone equilátero é equivalente ao volume de um cubo de aresta raiz[3]3 pi cm. O raio da base do cone mede
a) raiz34
b) 2 raiz3
c) raiz32
d) raiz3
e) 3 raiz3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o volume de um cone equilátero é igual ao volume de um cubo cuja aresta mede raiz[3]3 pi cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da base desse cone. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume tanto do cubo quanto do cone e usar um pouco de álgebra para achar o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cubo. A fórmula para o volume de um cubo é:
Vcubo = a^3
onde a é a aresta do cubo. Aqui, a = raiz[3]3 pi cm. Vamos substituir:
Vcubo = ( raiz[3]3 pi )^3 = 3 pi cm^3
Então, o volume do cubo é 3 pi cm³.

Passo 3

Agora, sabemos que o volume do cone é igual ao volume do cubo, ou seja, Vcone = 3 pi cm³. A fórmula do volume do cone é:
Vcone = 13 pi r^2 h
onde r é o raio da base e h é a altura do cone. Já que o cone é equilátero, isso significa que a altura h é igual ao diâmetro da base. Porém, vamos focar em expressar h em termos de r.
Em um cone equilátero, a altura forma um triângulo retângulo com o raio e a geratriz. A relação fica assim:
h = raiz3 r

Passo 4

Substituindo h = raiz3 r na fórmula do volume do cone:
Vcone = 13 pi r^2 (raiz3 r) = 13 pi raiz3 r^3
Simplificando:
Vcone = raiz33 pi r^3
Sabemos que Vcone = 3 pi, então:
raiz33 pi r^3 = 3 pi

Passo 5

Vamos resolver para r^3. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por pi:
raiz33 r^3 = 3
Multiplicando ambos os lados por 3/raiz3:
r^3 = 3 times 3raiz3 = 9raiz3 = 3 raiz3

Passo 6

Agora, para encontrar r, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
r = raiz[3]3 raiz3 = raiz32

Resposta

A resposta correta é a opção c) raiz32.

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