3.6-Difusão em estado transiente

Considere o processo de envernizamento de placas planas de madeira. Pretende-se cobrir uma das faces das placas com uma camada de verniz de espessura de<a. O verniz é preparado por adição de um solvente. Após aplicação, o processo de secagem consiste na difusão do solvente através da camada de verniz e evaporação para a atmosfera. A secagem ocorre numa atmosfera em que a concentração de solvente é praticamente nula. A madeira e o verniz seco são impermeáveis ao solvente.
a) Escreva a equação diferencial e as condições fronteira que descrevem o transporte de solvente através de uma camada de verniz.
b) Um pintor A decide efectuar a tarefa em duas etapas, aplicando primeiro uma camada mais fina de verniz (espessura approx de<a / 2 ) e aguardando a sua secagem completa. Na segunda etapa aplica nova camada fina (espessura approx de<a / 2 ). O pintor B executa a tarefa numa só etapa, aplicando logo uma camada de verniz de espessura de<a, e aguardando a sua secagem completa. Considere a secagem completa quando a concentração de solvente nas interfaces madeira/verniz e 1^ a camada de verniz/2a camada de verniz (pintor A) é igual a 0,1 % da concentração inicial. Calcule a razão entre o tempo de secagem da camada de espessura de<a, e o tempo de secagem de uma camada de espessura de<a / 2. Qual dos pintores termina o trabalho mais rapidamente? Refira e justifique todas as hipóteses que assumir.

Passo 1

O problema é de difusão unidimensional transiente de solvente numa camada de verniz de espessura de<a. O conteúdo da matéria envolve a segunda lei de Fick e a resolução via autovalores para camadas com condições de contorno mistas (Dirichlet num lado e Neumann no outro). Para resolver, precisamos:
  1. Escrever a equação de difusão e as condições de contorno.
  2. Obter o tempo característico de secagem tL para uma camada de espessura L.
  3. Comparar tde<a e tde<a/2 e concluir qual pintor é mais rápido.

Passo 2

Para uma camada de espessura genérica L, o solvente satisfaz
partial Cpartial t = Dpartial^2 Cpartial x^2, 0<x<L,
com condições
C(x,0)=C0, partial Cpartial x|x=0=0(madeira ou verniz seco impermeável), C(L,t)=0(atmosfera sumidouro) á
A solução em modos próprios tem autovalores alphan=(2n-1)pi/(2L); o modo fundamental domina em largos tempos, decaindo como exp(-Dalpha1^2t).

Passo 3

O tempo característico associado ao primeiro modo é
tauL = 1Dalpha1^2 = 1D4L^2pi^2 = 4L^2pi^2D
Como o critério de secagem completa (concentração residual fixa) depende de exp(-t/tauL), segue-se que
tL;propto;L^2

Passo 4

Logo, para as espessuras de<a e de<a/2 temos
tde<atde<a/2 =de<a^2(de<a/2)^2 =4
Como o pintor A aplica duas camadas de espessura de<a/2 em série, o tempo total dele é
2,tde<a/2 =2;tde<a4 =tde<a2,
isto é, metade do tempo que leva secar de uma só vez a camada de espessura de<a.

Passo 5

Hipóteses principais:
  1. Difusividade D constante e uniforme.
  2. Concentração inicial uniforme C0 em cada camada aplicada.
  3. Atmosfera como sumidouro instantâneo ( C=0 na superfície).
  4. Secagem “completa” definida por mesma fração residual em todas as camadas.

Resposta

A razão entre o tempo de secagem de espessura de<a e de espessura de<a/2 é
tde<atde<a/2=4
O pintor A, que faz duas camadas de de<a/2, leva tde<a/2, ou seja, termina o trabalho duas vezes mais rápido que o pintor B.

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