Um cilindro infinitamente longo de raio R contém uma distribuição uniforme de cargas. Mostre que, a uma distância r do cilindro,
E=rho R2 varepsilon0
Onde rho é a densidade volumétrica de cargas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um cilindro infinitamente longo de raio com carga volumétrica uniforme . Queremos descobrir o módulo do campo elétrico num ponto que esteja a uma distância do eixo, sendo (ou seja, dentro do cilindro).
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática.
O que vamos precisar:
  • Escolher uma superfície gaussiana que aproveite a geometria cilíndrica.
  • Calcular o fluxo do campo nessa superfície.
  • Determinar a carga total “presa” dentro dessa superfície.
  • Aplicar a Lei de Gauss, , para achar .

Passo 2

Teoria rapidinha: a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total que sai de uma superfície fechada vale a carga interna dividida por . Quando a geometria tem simetria, tipo cilindro infinito, o campo é sempre perpendicular e de módulo constante na lateral de um cilindro coaxial que desenharmos.

Passo 3

Escolhe a superfície gaussiana: um cilindro imaginário de raio (com ) e comprimento , com o mesmo eixo do cilindro carregado.
– Lateral: o campo é perpendicular à superfície e tem módulo constante .
– Tampas: lá o campo é paralelo à superfície (ou zero), então não contribui para o fluxo.

Passo 4

Fluxo elétrico pela lateral do cilindro gaussiano:
PhiE = E(r),times (área lateral) = E(r)times (2pi r L) á

Passo 5

Carga total contida dentro do cilindro gaussiano: densidade vezes volume interno:
Qint = rho times (pi r^2 L)
Pela Lei de Gauss:
PhiE = Qintvarepsilon0 Longrightarrow E(r),(2pi r L) = rho,pi r^2 Lvarepsilon0
Agora é só isolar :

Resposta

E(r) ;=; rho,pi r^2 Lvarepsilon0,2pi r L ;=; rho,r2,varepsilon0
Ou seja, para boxedE = rho,r2,varepsilon0 ,

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