Um cilindro infinitamente longo de raio R contém uma distribuição uniforme de cargas. Mostre que, a uma distância
do cilindro,
Onde
é a densidade volumétrica de cargas.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um cilindro infinitamente longo de raio
com carga volumétrica uniforme
. Queremos descobrir o módulo do campo elétrico
num ponto que esteja a uma distância
do eixo, sendo
(ou seja, dentro do cilindro).
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática.
O que vamos precisar:
- Escolher uma superfície gaussiana que aproveite a geometria cilíndrica.
- Calcular o fluxo do campo nessa superfície.
- Determinar a carga total “presa” dentro dessa superfície.
- Aplicar a Lei de Gauss,
, para achar .
Passo 2
Teoria rapidinha: a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total que sai de uma superfície fechada vale a carga interna dividida por
. Quando a geometria tem simetria, tipo cilindro infinito, o campo
é sempre perpendicular e de módulo constante na lateral de um cilindro coaxial que desenharmos.
Passo 3
Escolhe a superfície gaussiana: um cilindro imaginário de raio
(com
) e comprimento
, com o mesmo eixo do cilindro carregado.
– Lateral: o campo é perpendicular à superfície e tem módulo constante
.
– Tampas: lá o campo é paralelo à superfície (ou zero), então não contribui para o fluxo.
– Lateral: o campo
– Tampas: lá o campo é paralelo à superfície (ou zero), então não contribui para o fluxo.
Passo 4
Fluxo elétrico pela lateral do cilindro gaussiano:
Passo 5
Carga total contida dentro do cilindro gaussiano: densidade vezes volume interno:
Pela Lei de Gauss:
Agora é só isolar
:
Resposta
Ou seja, para
,