Um cilindro isolante, infinitamente longo, de raio R, tem uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio, segundo a equação:
\rho=\rho_{0}\left(b-\frac{r}{a}\right)
sendo \rho_{0}, a e b são constantes positivas e r é a distância a partir do eixo do cilindro. Use a lei de Gauss para determinar a magnitude do campo elétrico nas distâncias radias (a) r<R e (b) r>R.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro isolante infinito de raio R cuja densidade volumétrica de carga varia segundo
\rho(r)=\rho_{0}\!\Bigl(b-\frac{r}{a}\Bigr),
onde \rho_{0},a,b>0 e r é a distância ao eixo. Queremos a magnitude do campo elétrico E(r) para (a) r<R e (b) r>R.
Vamos aplicar a lei de Gauss em superfície cilíndrica coaxial de raio genérico r:
\Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,(2\pi r L)=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Para r<R determinamos a carga interna por comprimento unitário L=1 integrando sobre o volume cilíndrico de raio r:
Q_{\rm int}(r) =\int_{0}^{r}\rho(r')\,2\pi r'\,dr' =2\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\Bigl(b\,r'-\frac{r'^{2}}{a}\Bigr)dr' =2\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{b\,r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3a}\Bigr)

Passo 3

Substituindo em Gauss e isolando E(r) para r<R:
E(r)\,2\pi r\,\varepsilon_{0} =2\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{b\,r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3a}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{b\,r}{2}-\frac{r^{2}}{3a}\Bigr).

Passo 4

Para r>R a carga interna é a total até R, obtida trocando r por R:
Q_{\rm int}(R) =2\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{b\,R^{2}}{2}-\frac{R^{3}}{3a}\Bigr).

Passo 5

Aplicando Gauss para r>R e usando Q_{\rm int}(R):
E(r)\,2\pi r\,\varepsilon_{0} =2\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{b\,R^{2}}{2}-\frac{R^{3}}{3a}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\frac{1}{r}\Bigl(\frac{b\,R^{2}}{2}-\frac{R^{3}}{3a}\Bigr).

Resposta

(a) Para r<R:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{b\,r}{2}-\frac{r^{2}}{3a}\Bigr).
(b) Para r>R:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\frac{1}{r}\Bigl(\frac{b\,R^{2}}{2}-\frac{R^{3}}{3a}\Bigr).

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