Um elevador, de massa m=300 \mathrm{~kg}, está descendo com velocidade v_{i}=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando o cabo de sustentação começa a patinar, permitindo que o elevador caia com aceleração constante =\mathrm{g} / 9,8. (a) Se o elevador cai de uma altura \mathrm{d}=20 \mathrm{~m}, qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força gravitacional? (b) Qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força do cabo durante a queda? (c) Qual é o trabalho total realizado sobre o elevador durante a queda? (d) Qual é a energia cinética do elevador no final da queda de 20 m ? (e) Qua a velocidade final do elevador?

Passo 1

O enunciado descreve um elevador de massa m=300\\ \mathrm{kg} que, a partir de uma velocidade inicial para baixo v_i=2{,}0\\ \mathrm{m/s}, fica em queda livre (aceleração a=g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}) por uma altura d=20\\ \mathrm{m}. Vamos calcular:
  • o trabalho da gravidade,
  • o trabalho da força do cabo,
  • o trabalho total,
  • a energia cinética final,
  • a velocidade final.
    Usaremos definição de trabalho para forças constantes W=F\cdot d e o Teorema Trabalho-Energia:
K_f = K_i + W_{\text{total}}.

Passo 2

Para a gravidade, a força peso tem módulo mg e deslocamento é para baixo, mesma direção, logo
W_g = (mg)\,d.
Substituindo m=300\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e d=20\\ \mathrm{m},
W_g = 300 \times 9{,}8 \times 20 = 58800\\ \mathrm{J}.

Passo 3

A força do cabo é a tensão T. Em queda livre a=g satisfaz
mg - T = m\,a \quad\Longrightarrow\quad T = m(g - a)=0.
Como T=0, o trabalho do cabo é
W_{\text{cabo}} = T\,d = 0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

O trabalho total sobre o elevador é a soma
W_{\text{total}} = W_g + W_{\text{cabo}} = 58800 + 0 = 58800\\ \mathrm{J}.

Passo 5

A energia cinética inicial é
K_i = \tfrac12\,m\,v_i^2 = \tfrac12 \times 300 \times (2{,}0)^2 = 600\\ \mathrm{J}.
Pelo Teorema Trabalho-Energia,
K_f = K_i + W_{\text{total}} = 600 + 58800 = 59400\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Para achar a velocidade final v_f, podemos usar
K_f = \tfrac12\,m\,v_f^2 \quad\Longrightarrow\quad v_f = \sqrt{\frac{2\,K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 59400}{300}} = \sqrt{396} \approx 19{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) W_g = 5{,}88\times10^4\\ \mathrm{J}.
(b) W_{\text{cabo}} = 0\\ \mathrm{J}.
(c) W_{\text{total}} = 5{,}88\times10^4\\ \mathrm{J}.
(d) K_f = 5{,}94\times10^4\\ \mathrm{J}.
(e) v_f \approx 19{,}9\\ \mathrm{m/s}.

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