Mostre que existem dois instantes de tempo ( t_{1} e t_{2} ) para os quais um projétil atinge a mesma altura h. Além disso, demonstre matematicamente que:
t_{1}+t_{2}=T
onde T é o tempo total de voo.

Passo 1

O enunciado considera o movimento vertical de um projétil lançado com velocidade inicial v_{0} e ângulo de elevação \alpha. A altura em função do tempo é dada pela equação do MUV sob aceleração constante g. Queremos mostrar que, para uma mesma altura h (com 0<h<H, onde H é a altura máxima), existem dois instantes t_{1} e t_{2} distintos, e que eles satisfazem
t_{1}+t_{2}=T,
sendo T o tempo total de voo.

Passo 2

A altura y(t) do projétil a um instante t é
y(t)=v_{0}\sin\alpha\;t-\frac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Para que y(t)=h devemos resolver
v_{0}\sin\alpha\;t-\frac{1}{2}\,g\,t^{2}=h.
Reescrevendo em forma de equação quadrática:
g\,t^{2}-2\,v_{0}\sin\alpha\;t+2\,h=0.

Passo 3

O discriminante desta equação é
\Delta=(2\,v_{0}\sin\alpha)^{2}-4\cdot g\cdot(2h) =4\,v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha-8\,g\,h.
Como a altura máxima é H=\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}, temos
\Delta=8g\,(H-h)>0\quad\text{para }0<h<H.
Logo existem duas raízes reais e distintas t_{1} e t_{2}, correspondendo aos dois instantes em que o projétil atinge a altura h.

Passo 4

Pelas relações de Viète para as raízes de g\,t^{2}-2\,v_{0}\sin\alpha\,t+2h=0, o somatório é
t_{1}+t_{2} =\frac{2\,v_{0}\sin\alpha}{g}.
Mas este quociente é exatamente o tempo total de voo
T=\frac{2\,v_{0}\sin\alpha}{g}.
Portanto
t_{1}+t_{2}=T.

Resposta

t_{1}+t_{2}=T.

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