Mostre que existem dois instantes de tempo (
e
) para os quais um projétil atinge a mesma altura
. Além disso, demonstre matematicamente que:
onde
é o tempo total de voo.
Passo 1
O enunciado considera o movimento vertical de um projétil lançado com velocidade inicial
e ângulo de elevação
. A altura em função do tempo é dada pela equação do MUV sob aceleração constante
. Queremos mostrar que, para uma mesma altura
(com
, onde
é a altura máxima), existem dois instantes
e
distintos, e que eles satisfazem
sendo
o tempo total de voo.
Passo 2
A altura
do projétil a um instante
é
Para que
devemos resolver
Reescrevendo em forma de equação quadrática:
Passo 3
O discriminante desta equação é
Como a altura máxima é
, temos
Logo existem duas raízes reais e distintas
e
, correspondendo aos dois instantes em que o projétil atinge a altura
.
Passo 4
Pelas relações de Viète para as raízes de
, o somatório é
Mas este quociente é exatamente o tempo total de voo
Portanto