(3,0). Um cilindro longo carregado possui um raio R e densidade volumétrica de carga rho=A r^2. Determine o campo elétrico em r>R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro longo carregado com raio $ R $ e densidade volumétrica de carga $ \rho = A r^{2} $. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico para $ r > R $. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos com simetria adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana que facilite nossos cálculos. Como temos um cilindro longo, a melhor escolha é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, ou seja, com o mesmo eixo. Esse cilindro gaussiano terá raio $ r > R $ e comprimento $ L $. A simetria cilíndrica garante que o campo elétrico $ \vec{E} $ seja perpendicular à superfície lateral do cilindro e que sua magnitude seja a mesma em todo o contorno.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga total $ Q $ dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é dada por $ \rho = A r^{2} $, onde $ A $ é uma constante. A carga dentro do cilindro de raio $ R $ é:
Q
Simplificando a integral:
rho = A r^2

Passo 4

Com a carga $ Q $ calculada, aplicamos a Lei de Gauss:
Q
Para nossa superfície gaussiana, a integral do lado esquerdo se torna:
oint E cdot dA = Qvarepsilon0
Substituindo $ Q $:
E cdot 2pi r L = Qvarepsilon0
Resolvendo para $ E $:
Q

Resposta

E = dfracA R^44, varepsilon0, r

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