A posição de uma partícula é dada por
metros.
Em que instante a partícula atinge sua velocidade máxima?
Em que instante a partícula atinge sua velocidade máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula em função do tempo:
metros. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento essa partícula atinge a sua velocidade máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a função da velocidade e então determinar quando ela é máxima.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função da velocidade da partícula. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Então, a função da velocidade é
metros por segundo.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade máxima, precisamos descobrir quando essa função de velocidade atinge seu ponto mais alto. Isso significa que devemos encontrar o valor de
onde a derivada da velocidade (que é a aceleração) é zero.
Vamos derivar a função da velocidade para obter a aceleração:
Para encontrar o ponto crítico, igualamos a aceleração a zero:
Passo 4
Encontramos que
é o ponto onde a aceleração é zero. Para confirmar se é um ponto de máximo na velocidade, podemos analisar a concavidade da função velocidade.
A segunda derivada da posição é constante e negativa (
), o que indica que a função da velocidade tem um ponto de máximo em
.
Resposta
A partícula atinge sua velocidade máxima no instante
segundos.