Um corpo em movimento tem sua posição descrita por z(t)=t^3-6 t^2+9 t em metros.
Qual a velocidade media no intervalo de t=2 s a t=3 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um corpo em movimento dada pela função $ z(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $ em metros. O que a gente precisa encontrar é a velocidade média desse corpo entre $ t = 2 $ segundos e $ t = 3 $ segundos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de velocidade média, que está relacionado com o cálculo da variação da posição ao longo do tempo. Ou seja, a velocidade média é a mudança na posição dividida pelo tempo que levou para essa mudança acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade média. A velocidade média ($ v_{m} $) é dada por:
vm
Onde:
  • $ \Delta z $ é a variação da posição (posição_final menos posição_inicial).
  • $ \Delta t $ é o intervalo de tempo em que essa variação ocorre.
Então, vamos calcular $ \Delta z $ e $ \Delta t $ usando os valores dados.

Passo 3

Vamos calcular $ \Delta t $ primeiro. É o tempo final menos o tempo inicial:
De
Então, o intervalo de tempo é de 1 segundo.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \Delta z $, que é a diferença entre a posição no tempo final e a posição no tempo inicial.
Primeiro, calculamos a posição no tempo inicial ($ t_i = 2,s $):
De
Em seguida, a posição no tempo final ($ t_f = 3,s $):
ti = 2,s

Passo 5

Agora que temos as posições nos dois tempos, podemos calcular $ \Delta z $:
De
O sinal negativo indica que o corpo se deslocou 2 metros na direção negativa do eixo considerado.

Passo 6

Agora, aplicamos os valores de $ \Delta z $ e $ \Delta t $ na fórmula da velocidade média:
De

Resposta

A velocidade média do corpo no intervalo de 2 segundos a 3 segundos é de -2 m/s.

Exercícios relacionados