Um cilindro maciço ( R=15 cm e M=2 kg ) possui uma fita leve e fina enrolada em sua periferia. A fita passa dor uma dolia de massa desprezível e sem atrito. Na outra extremidade da fita, um corpo de 150 N de peso pende verticalmente. O cilindro sobe, sem deslizar, um plano inclinado a 30^circ da horizontal. Determine: a) a aceleração linear do centro de massa do cilindro, e b) a aceleração angular do cilindro. c) Qual é a relação entre as acelerações do centro de massa do cilindro e do bloco? d) Qual é a tensão na fita. e) Resolva o item (a) para um cilindro de
8 kg de massa e um bloco de 1 kg .

Passo 1

Vamos resumir a situação: um cilindro maciço de massa M=2,kg e raio R=0,15,m rola sem deslizar sobre um plano inclinado de 30^circ. Uma fita enrolada em sua periferia passa por uma polia sem atrito e sustenta um bloco de peso W=150,N (massa m=W/g). Queremos usar as leis de Newton para translação e rotação e a condição de rolamento sem escorregamento.

Passo 2

Descrevemos o cilindro como um corpo com massa efetiva M+I/R^2, onde I=tfrac12MR^2 é o momento de inércia. A força que puxa o cilindro para cima do plano é a tensão T, e a componente do peso que puxa para baixo é M gsin30^circ. Assim, na direção do plano:
T - M gsin30^circ = l(M + tfracIR^2r),a = l(M + tfrac12Mr),a = tfrac32M,a

Passo 3

Para o bloco pendurado vale, tomando para baixo como positivo:
m g - T = m,a

Passo 4

Somando as duas equações para eliminar T:
m g - M gsin30^circ = m,a + tfrac32M,a = l(m + tfrac32Mr),a

Passo 5

Isolando a:
a = m g - M gsin30^circm + tfrac32M

Passo 6

Agora calculamos numericamente m=150/9,8=15,31,kg e substituímos sin30^circ=0,5:
a = 15,31cdot9,8 - 2cdot9,8cdot0,515,31 + 3 approx 7,66,m/s^2

Passo 7

A aceleração angular sai de a=alpha R, ou seja:
alpha = aR = 7,660,15 approx 51,1,rad/s^2

Passo 8

Como o bloco e o cilindro estão ligados pela mesma fita, têm a mesma aceleração em módulo: abloco=acilindro, mas sentidos opostos.

Passo 9

A tensão na fita vem de T = m(g - a):
T = 15,31l(9,8 - 7,66r) approx 32,8,N

Passo 10

Para M=8,kg e m=1,kg repetimos
a = 1cdot9,8 - 8cdot9,8cdot0,51 + tfrac32,8 = 9,8 - 39,21 + 12 = -29,413 approx -2,26,m/s^2, o sinal negativo indica que o cilindro desce o plano com aceleração de 2,26,m/s^2.

Resposta

a) aapprox7,66,m/s^2 para cima do plano. b) alphaapprox51,1,rad/s^2. c) abloco=acilindro em módulo (sentidos opostos). d) Tapprox32,8,N. e) para M=8,kg e m=1,kg, aapprox-2,26,m/s^2 (cilindro desce o plano com 2,26,m/s^2).

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