- Desenvolva
em série de Fourier-Legendre calculando os primeiros dois termos não nulos.
[
(Sol.: \left.f(x)=\frac{1}{3} P_{0}(x)+\frac{2}{3} P_{2}(x)+···\right)
(Sol.: \left.f(x)=\frac{1}{3} P_{0}(x)+\frac{2}{3} P_{2}(x)+···\right)
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a função
no intervalo
em série de Fourier–Legendre, ou seja, escrever
como combinação infinita dos polinômios de Legendre
. Vamos usar a fórmula de coeficientes baseada na ortogonalidade dos polinômios de Legendre.
Passo 2
A fórmula geral para a expansão de
em polinômios de Legendre é
onde
Passo 3
Para
temos
. Calculando
Passo 4
Para
temos
. Calculando
ou seja, o termo
não aparece.
Passo 5
Para
temos
. Calculando
Agora
então
Passo 6
Reunindo os dois primeiros termos não nulos da série, obtemos
Resposta
f(x)=\frac{1}{3}P_{0}(x)+\frac{2}{3}P_{2}(x)+···