1. Desenvolva f(x)=x^2 ;-1 em série de Fourier-Legendre calculando os primeiros dois termos não nulos.
[
(Sol.: \left.f(x)=\frac{1}{3} P_{0}(x)+\frac{2}{3} P_{2}(x)+···\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=x^2 no intervalo -1 em série de Fourier–Legendre, ou seja, escrever x^2 como combinação infinita dos polinômios de Legendre Pn(x). Vamos usar a fórmula de coeficientes baseada na ortogonalidade dos polinômios de Legendre.

Passo 2

A fórmula geral para a expansão de f(x) em polinômios de Legendre é
f(x)=sumn=0^infty an Pn(x),
onde
an=2n+12integral-1^1f(x)Pn(x),dx

Passo 3

Para n=0 temos P0(x)=1. Calculando
a0=2cdot0+12integral-1^1x^2cdot1,dx=12integral-1^1x^2,dx=12cdot23=13

Passo 4

Para n=1 temos P1(x)=x. Calculando
a1=2cdot1+12integral-1^1x^2cdot x,dx=32integral-1^1x^3,dx=32cdot0=0,
ou seja, o termo P1 não aparece.

Passo 5

Para n=2 temos P2(x)=tfrac12(3x^2-1). Calculando
a2=2cdot2+12integral-1^1x^2cdot3x^2-12,dx=54integral-1^1(3x^4-x^2),dx
Agora
integral-1^1x^4,dx=25,integral-1^1x^2,dx=23,
então
a2=54l(3cdot25-23r)=54l(65-23r)=54cdot815=23

Passo 6

Reunindo os dois primeiros termos não nulos da série, obtemos
f(x)=x^2=13P0(x)+23P2(x)+dots

Resposta

f(x)=\frac{1}{3}P_{0}(x)+\frac{2}{3}P_{2}(x)+···

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