Considere um tubo em forma de U, longo e aberto nas extremidades, que contém mercúrio, de densidade 13,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
a) No ramo direito desse tubo, despeja-se 40,8 \mathrm{~cm} de água, de densidade 1,00 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. A que altura sobe o nível de mercúrio do ramo esquerdo em relação ao nível original?
b) Após despejar 40,8 \mathrm{~cm} de água no ramo direito, despeja-se 17,0 \mathrm{~cm} de óleo (de densidade 0,8 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ) no ramo esquerdo. Qual é o desnível entre as superfícies de água e de óleo contidos nos dois ramos do tubo?

Passo 1

O enunciado envolve um tubo em U contendo mercúrio de densidade \rho_{Hg}=13,6\mathrm{\,g/cm^3}. Ao despejar líquidos num dos braços, o mercúrio se desloca até que a pressão no fundo de cada ramo fique igual. Em cada situação vamos usar a condição de equilíbrio hidrostático
P_0 + \rho_{líquido}\,g\,h_{líquido} + \rho_{Hg}\,g\,(h_0 - \Delta) = P_0 + \rho_{Hg}\,g\,(h_0 + \Delta)íí
onde h_0 é a altura original da superfície de mercúrio (que se cancela) e \Delta é o deslocamento do mercúrio no ramo esquerdo (positivo para subida).

Passo 2

Para (a), só há água no ramo direito com altura h_w=40{,}8\mathrm{\,cm} e densidade \rho_w=1{,}00\mathrm{\,g/cm^3}. A equação vira
\rho_w\,g\,h_w + \rho_{Hg}\,g\,(h_0 - \Delta) = \rho_{Hg}\,g\,(h_0 + \Delta)
Cancelando g e h_0:
\rho_w\,h_w = 2\,\rho_{Hg}\,\Delta \quad\Longrightarrow\quad \Delta = \frac{\rho_w\,h_w}{2\,\rho_{Hg}} = \frac{1{,}00 \times 40{,}8}{2\times13{,}6} =1{,}50\mathrm{\,cm}.

Passo 3

Para (b), há água no ramo direito h_w=40{,}8, \rho_w=1{,}00 e óleo no ramo esquerdo com h_o=17{,}0\mathrm{\,cm}, \rho_o=0{,}80. A equação torna-se
P_0 + \rho_o\,g\,h_o + \rho_{Hg}\,g\,(h_0 + \Delta) = P_0 + \rho_w\,g\,h_w + \rho_{Hg}\,g\,(h_0 - \Delta)
Cancelando P_0,\;g e h_0:
\rho_o\,h_o + \rho_{Hg}\,\Delta = \rho_w\,h_w - \rho_{Hg}\,\Delta \quad\Longrightarrow\quad \Delta = \frac{\rho_w\,h_w - \rho_o\,h_o}{2\,\rho_{Hg}} = \frac{1{,}00\cdot40{,}8 - 0{,}80\cdot17{,}0}{2\cdot13{,}6} =1{,}00\mathrm{\,cm}.
Nesse equilíbrio, a superfície de óleo fica h_o+\Delta=17{,}0+1{,}0=18{,}0\mathrm{\,cm} acima do nível original de mercúrio, e a de água fica h_w-\Delta=40{,}8-1{,}0=39{,}8\mathrm{\,cm}. O desnível entre água e óleo é
39{,}8 - 18{,}0 = 21{,}8\mathrm{\,cm}.

Resposta

(a) 1{,}50\mathrm{\,cm}
(b) 21{,}8\mathrm{\,cm}

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