Um cilindro maciço com raio
e massa
kg parte do repouso e rola para baixo uma distância
sem deslizar, em um telhado com uma inclinação
.
(a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
(a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui: temos um cilindro maciço com raio de $ r = 12,6 $ cm e massa de $ m = 17 $ kg. Esse cilindro parte do repouso e rola sem deslizar por uma distância de $ L = 9,0 $ m em um telhado inclinado a $ \theta = 24^\circ
\omega $) do cilindro em relação ao seu eixo central quando ele deixa o telhado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, quando o cilindro rola sem deslizar, a energia potencial gravitacional que ele tem no topo é transformada em energia cinética translacional (de movimento para frente) e em energia cinética rotacional (de rotação). A energia total no início é apenas a potencial, já que ele parte do repouso.
Passo 3
A energia potencial ($ E_p $) no topo pode ser calculada por:
onde $ h $ é a altura do telhado. Mas precisamos relacionar a distância $ L $ com a altura $ h $. Sabemos que:
Então,
Passo 4
A energia cinética total ($ E_k $) quando o cilindro deixa o telhado é a soma da cinética translacional e rotacional:
onde $ I $ é o momento de inércia do cilindro e $ v $ é a velocidade linear do centro de massa.
Passo 5
Para um cilindro maciço, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
Passo 6
Como o cilindro rola sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $:
Isso nos permite substituir $ v $ por $ r\omega $ na equação da energia cinética.
Passo 7
Substituindo $ v = r\omega $ e $ I = \frac{1}{2}mr^2 $ na equação de $ E_k $:
Passo 8
Pelo princípio da conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
Passo 9
Agora, isolamos $ \omega^2 $:
E, portanto, a velocidade angular $ \omega $ é:
Passo 10
Substituindo os valores conhecidos:
Calculamos $ \sin(24^\circ) \approx 0,4067 $. Então:
Resposta
A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente $ \omega \approx 54,7 \ rad/s $.