Um cilindro maciço com raio r=12,6 cm e massa m=17 kg parte do repouso e rola para baixo uma distância L=9,0 m sem deslizar, em um telhado com uma inclinação theta=24^circ.
(a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui: temos um cilindro maciço com raio de $ r = 12,6 $ cm e massa de $ m = 17 $ kg. Esse cilindro parte do repouso e rola sem deslizar por uma distância de $ L = 9,0 $ m em um telhado inclinado a $ \theta = 24^\circ r = 12,6 éé \omega $) do cilindro em relação ao seu eixo central quando ele deixa o telhado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, quando o cilindro rola sem deslizar, a energia potencial gravitacional que ele tem no topo é transformada em energia cinética translacional (de movimento para frente) e em energia cinética rotacional (de rotação). A energia total no início é apenas a potencial, já que ele parte do repouso.

Passo 3

A energia potencial ($ E_p $) no topo pode ser calculada por:
Ep
onde $ h $ é a altura do telhado. Mas precisamos relacionar a distância $ L $ com a altura $ h $. Sabemos que:
Ep = mgh
Então,
h

Passo 4

A energia cinética total ($ E_k $) quando o cilindro deixa o telhado é a soma da cinética translacional e rotacional:
Ek
onde $ I $ é o momento de inércia do cilindro e $ v $ é a velocidade linear do centro de massa.

Passo 5

Para um cilindro maciço, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
I = 12mr^2

Passo 6

Como o cilindro rola sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $:
v
Isso nos permite substituir $ v $ por $ r\omega $ na equação da energia cinética.

Passo 7

Substituindo $ v = r\omega $ e $ I = \frac{1}{2}mr^2 $ na equação de $ E_k $:
v = romega

Passo 8

Pelo princípio da conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
mgLsin(theta) = 34mr^2omega^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
m

Passo 9

Agora, isolamos $ \omega^2 $:
omega^2
E, portanto, a velocidade angular $ \omega $ é:
omega^2 = 4gLsin(theta)3r^2

Passo 10

Substituindo os valores conhecidos:
g = 9,81 m/s^2, L = 9,0 m, theta = 24^circ, r = 0,126 m
Calculamos $ \sin(24^\circ) \approx 0,4067 $. Então:
sin(24^circ) approx 0,4067

Resposta

A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente $ \omega \approx 54,7 \ rad/s $.

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