No instante
a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por
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(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função que descreve o deslocamento angular do eixo de um motor elétrico, que depende do tempo $ t $. O enunciado quer saber qual é a aceleração angular nesse instante em que a velocidade angular é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, porque velocidade e aceleração angulares são derivadas do deslocamento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função do deslocamento angular dada:
Aqui, $ \theta(t) $ está em radianos e depende do tempo $ t $.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade angular, precisamos derivar $ \theta(t) $ em relação ao tempo $ t $. A velocidade angular $ \omega(t) $ é dada por:
Vamos calcular essa derivada:
Então, a função da velocidade angular é:
Passo 4
A questão pede a aceleração angular quando a velocidade angular é igual a zero. Primeiro, vamos encontrar o tempo $ t $ quando $ \omega(t) = 0 $:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para $ t $. Vamos reorganizar:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -1:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Desprezando o tempo negativo, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração angular, que é a derivada da velocidade angular:
Vamos substituir $ t \approx 13,12 , \mathrm{s} $ na expressão da aceleração angular:
Resposta
A aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero é aproximadamente
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