No instante t=0 a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por theta(t)=(250 rad / s) (20,0 rad / s^2) t^2-(1,50 rad / s^3) t^3.
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função que descreve o deslocamento angular do eixo de um motor elétrico, que depende do tempo $ t $. O enunciado quer saber qual é a aceleração angular nesse instante em que a velocidade angular é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, porque velocidade e aceleração angulares são derivadas do deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função do deslocamento angular dada:
theta(t) = 250 , rad/s cdot t + 20,0 , rad/s^2 cdot t^2 - 1,50 , rad/s^3 cdot t^3
Aqui, $ \theta(t) $ está em radianos e depende do tempo $ t $.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade angular, precisamos derivar $ \theta(t) $ em relação ao tempo $ t $. A velocidade angular $ \omega(t) $ é dada por:
theta(t)
Vamos calcular essa derivada:
t
Então, a função da velocidade angular é:
omega(t)

Passo 4

A questão pede a aceleração angular quando a velocidade angular é igual a zero. Primeiro, vamos encontrar o tempo $ t $ quando $ \omega(t) = 0 $:
t
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para $ t $. Vamos reorganizar:
omega(t) = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -1:
250 + 40,0 , t - 4,50 , t^2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
t
Calculando o discriminante:
-4,50 , t^2 + 40,0 , t + 250 = 0
Então,
4,50 , t^2 - 40,0 , t - 250 = 0
Desprezando o tempo negativo, temos:
t = 40,0 pm raiz(-40,0)^2 - 4 cdot 4,50 cdot (-250)2 cdot 4,50

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração angular, que é a derivada da velocidade angular:
alpha(t) = domega(t)dt = ddt(250 + 40,0 , t - 4,50 , t^2) = 40,0 - 9,00 , t (rad/s^2)
Vamos substituir $ t \approx 13,12 , \mathrm{s} $ na expressão da aceleração angular:
t approx 13,12 , s

Resposta

A aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero é aproximadamente -78,08 , rad/s^2.

Exercícios relacionados