Um cilindro maciço com raio r=12,6 cm e massa m=17 kg parte do repouso e rola para baixo uma distância L=9,0 m sem deslizar, em um telhado com uma inclinação theta=24^circ.
(b) A borda do telhado está a uma altura H=7,0 m A que distância horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão?
Considere, sen(24^circ)=0,4, cos (24^circ)=0,9 e I=m r^22 o momento
de inércia do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro com raio de 12,6 cm e massa de 17 kg que começa do repouso e rola uma distância de 9,0 metros por um telhado inclinado a 24°. Sem deslizar, ele chega a uma borda que está a 7,0 metros de altura. A gente precisa descobrir até que distância horizontal da borda o cilindro vai bater no chão. Vamos usar conceitos de física como energia e movimento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do cilindro quando ele chega na borda do telhado. Como ele está rolando sem deslizar, a energia potencial inicial se transforma em energia cinética translacional e rotacional.
A energia potencial inicial é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
- $ m = 17 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h $ é a altura que o cilindro desceu.
Mas como o cilindro desce uma distância $ L = 9,0 , m $ na rampa inclinada de $ \theta = 24^\circ $, a altura $ h $ pode ser encontrada usando:
m = 17 , kg
g = 9,8 , m/s^2
Então, a energia potencial inicial é:
h

Passo 3

Essa energia se transforma em energia cinética total do cilindro, que é a soma da energia cinética translacional e rotacional:
Ek = Etrans + Erot
Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Como o cilindro rola sem deslizar, a velocidade de rotação $ \omega $ está relacionada à velocidade linear $ v $ por:
omega
v
Substituindo o momento de inércia $ I = \frac{m r^2}{2} $:
v = omega cdot r
omega = vr
I = m r^22
Igualando a energia potencial à cinética:
Ek = 12 m v^2 + 12 cdot m r^22 cdot (vr)^2
Ek = 12 m v^2 + 14 m v^2
Ek = 34 m v^2
599,76 = 34 cdot 17 cdot v^2
v^2 = 599,76 cdot 43 cdot 17
Então, a velocidade do cilindro na borda é aproximadamente 6,86 m/s.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade horizontal do cilindro ao sair da borda. Como a rampa está inclinada a 24°, a velocidade $ v $ tem uma componente horizontal $ v_x $ dada por:
v
vx
vx = v cdot cos(theta)

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o tempo que o cilindro leva para cair dos 7,0 metros de altura. Vamos usar a equação do movimento uniformemente acelerado para a queda livre:
H = 12 g t^2
Isolando $ t $:
t
t = raiz2Hg
t = raiz2 cdot 7,09,8
t = raiz149,8
t approx raiz1,4286

Passo 6

Por fim, vamos calcular a distância horizontal $ d $ que o cilindro percorre enquanto cai:
d
d = vx cdot t
d = 6,17 cdot 1,195

Resposta

O cilindro atinge o chão a aproximadamente 7,36 metros da borda do telhado.

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