Um cilindro maciço com raio
e massa
kg parte do repouso e rola para baixo uma distância
sem deslizar, em um telhado com uma inclinação
.
(b) A borda do telhado está a uma altura
A que distância horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão?
Considere,
e
o momento
de inércia do cilindro.
(b) A borda do telhado está a uma altura
Considere,
de inércia do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro com raio de 12,6 cm e massa de 17 kg que começa do repouso e rola uma distância de 9,0 metros por um telhado inclinado a 24°. Sem deslizar, ele chega a uma borda que está a 7,0 metros de altura. A gente precisa descobrir até que distância horizontal da borda o cilindro vai bater no chão. Vamos usar conceitos de física como energia e movimento de projéteis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do cilindro quando ele chega na borda do telhado. Como ele está rolando sem deslizar, a energia potencial inicial se transforma em energia cinética translacional e rotacional.
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
- $ m = 17 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h $ é a altura que o cilindro desceu.
Mas como o cilindro desce uma distância $ L = 9,0 , m $ na rampa inclinada de $ \theta = 24^\circ $, a altura $ h $ pode ser encontrada usando:
Então, a energia potencial inicial é:
Passo 3
Essa energia se transforma em energia cinética total do cilindro, que é a soma da energia cinética translacional e rotacional:
Como o cilindro rola sem deslizar, a velocidade de rotação $ \omega $ está relacionada à velocidade linear $ v $ por:
Substituindo o momento de inércia $ I = \frac{m r^2}{2} $:
Igualando a energia potencial à cinética:
Então, a velocidade do cilindro na borda é aproximadamente 6,86 m/s.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a velocidade horizontal do cilindro ao sair da borda. Como a rampa está inclinada a 24°, a velocidade $ v $ tem uma componente horizontal $ v_x $ dada por:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o tempo que o cilindro leva para cair dos 7,0 metros de altura. Vamos usar a equação do movimento uniformemente acelerado para a queda livre:
Isolando $ t $:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a distância horizontal $ d $ que o cilindro percorre enquanto cai:
Resposta
O cilindro atinge o chão a aproximadamente 7,36 metros da borda do telhado.