Resolva a integral
para calcular o momento de inércia de uma régua de um metro, com massa de
, em relação a um eixo perpendicular à régua na marca de 40 cm . (Trate a régua como uma barra fina.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral para calcular o momento de inércia de uma régua de 1 metro com massa de 0,56 kg. O momento de inércia nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para isso, vamos usar a fórmula $ I = \int r^{2} , dm $, onde $ r $ é a distância de cada pedacinho da régua ao eixo de rotação. Vamos precisar entender um pouco de cálculo e física básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a régua como uma barra fina e uniforme. Isso significa que a massa está distribuída de maneira uniforme ao longo do comprimento da régua. Vamos definir o eixo de rotação na marca de 40 cm da régua. Vamos partir o comprimento da régua em relação a esse eixo para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o ponto de rotação (40 cm) é a origem ($ x = 0 $). Assim, a régua se estenderá de $ x = -0,4 $ metros até $ x = 0,6 $ metros, já que a régua tem 1 metro de comprimento.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a massa $ dm $ de um pequeno pedaço da régua em termos de $ dx $, que é uma pequena variação no comprimento. Como a régua é uniforme, a densidade linear de massa $ \lambda $ é constante e dada por:
Então, $ dm = \lambda , dx = 0,56, dx $.
Passo 5
Substituindo $ dm $ na fórmula do momento de inércia, temos:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 6
Vamos integrar $ x^{2} $ multiplicado por 0,56 de -0,4 a 0,6:
A primitiva de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $, então:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Resposta
O momento de inércia da régua em relação ao eixo na marca de 40 cm é aproximadamente $ I = 0,0523, kg·m^{2} $.