(2,5) Resolva a integral I=integral r^2 d m para calcular o momento de inércia de uma régua de um metro, com massa de 0,56 kg, em relação a um eixo perpendicular à régua na marca de 40 cm . (Trate a régua como uma barra fina.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral para calcular o momento de inércia de uma régua de 1 metro com massa de 0,56 kg. O momento de inércia nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para isso, vamos usar a fórmula $ I = \int r^{2} , dm $, onde $ r $ é a distância de cada pedacinho da régua ao eixo de rotação. Vamos precisar entender um pouco de cálculo e física básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a régua como uma barra fina e uniforme. Isso significa que a massa está distribuída de maneira uniforme ao longo do comprimento da régua. Vamos definir o eixo de rotação na marca de 40 cm da régua. Vamos partir o comprimento da régua em relação a esse eixo para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o ponto de rotação (40 cm) é a origem ($ x = 0 $). Assim, a régua se estenderá de $ x = -0,4 $ metros até $ x = 0,6 $ metros, já que a régua tem 1 metro de comprimento.

Passo 4

Agora, precisamos expressar a massa $ dm $ de um pequeno pedaço da régua em termos de $ dx $, que é uma pequena variação no comprimento. Como a régua é uniforme, a densidade linear de massa $ \lambda $ é constante e dada por:
dm
Então, $ dm = \lambda , dx = 0,56, dx $.

Passo 5

Substituindo $ dm $ na fórmula do momento de inércia, temos:
dm
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 6

Vamos integrar $ x^{2} $ multiplicado por 0,56 de -0,4 a 0,6:
x^2
A primitiva de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $, então:
I = 0,56 integral-0,4^0,6 x^2 , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
I = 0,56 ( 0,6^33 - (-0,4)^33 ) = 0,56 ( 0,2163 - -0,0643 )
I = 0,56 ( 0,072 + 0,021333 ) = 0,56 times 0,093333 approx 0,0522667, kg·m^2

Resposta

O momento de inércia da régua em relação ao eixo na marca de 40 cm é aproximadamente $ I = 0,0523, kg·m^{2} $.

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