Usando o teorema dos eixos paralelos Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de madeira leve possui o mesmo momento de inércia que uma casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e mesmo raio em relação ao diâmetro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema dos eixos paralelos para comparar o momento de inércia de uma esfera uniforme de madeira com o de uma casca cilíndrica de chumbo. Ambos têm a mesma massa e raio. A ideia é descobrir em relação a qual eixo a esfera tem o mesmo momento de inércia que a casca cilíndrica quando consideramos o diâmetro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, conhecer as fórmulas para esses objetos e aplicar o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanto um objeto resiste à rotação em torno de um eixo. É como o “peso” da rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar.
Passo 3
Agora, vamos às fórmulas. O momento de inércia de uma esfera uniforme de massa $ m $ e raio $ r $ em torno de um eixo passando pelo seu centro é:
Já para uma casca cilíndrica de massa $ m $ e raio $ r $ em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
Passo 4
O teorema dos eixos paralelos nos ajuda a encontrar o momento de inércia em um eixo que está paralelo ao eixo central, mas deslocado a uma distância $ d $. A fórmula é:
Precisamos usar isso para a esfera, já que vamos comparar com a casca cilíndrica em relação ao diâmetro.
Passo 5
Vamos considerar que queremos que o momento de inércia da esfera em relação a algum eixo paralelo ao diâmetro seja igual ao da casca cilíndrica em relação ao diâmetro. Ou seja:
Sabemos que o momento de inércia da casca em torno do diâmetro é o mesmo que em torno do eixo central, pois para uma casca cilíndrica, os momentos em qualquer direção perpendicular ao eixo central são iguais.
Passo 6
Substituindo as fórmulas:
Aqui, $ d $ é a distância entre o eixo central da esfera e o eixo desejado.
Passo 7
Vamos resolver para $ d $:
Resposta
A esfera possui o mesmo momento de inércia que a casca cilíndrica em relação a um eixo paralelo ao diâmetro, deslocado a uma distância $ d = \frac{r \sqrt{15}}{5} $ do eixo central.