Usando o teorema dos eixos paralelos Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de madeira leve possui o mesmo momento de inércia que uma casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e mesmo raio em relação ao diâmetro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema dos eixos paralelos para comparar o momento de inércia de uma esfera uniforme de madeira com o de uma casca cilíndrica de chumbo. Ambos têm a mesma massa e raio. A ideia é descobrir em relação a qual eixo a esfera tem o mesmo momento de inércia que a casca cilíndrica quando consideramos o diâmetro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, conhecer as fórmulas para esses objetos e aplicar o teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanto um objeto resiste à rotação em torno de um eixo. É como o “peso” da rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar.

Passo 3

Agora, vamos às fórmulas. O momento de inércia de uma esfera uniforme de massa $ m $ e raio $ r $ em torno de um eixo passando pelo seu centro é:
m
Já para uma casca cilíndrica de massa $ m $ e raio $ r $ em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
r

Passo 4

O teorema dos eixos paralelos nos ajuda a encontrar o momento de inércia em um eixo que está paralelo ao eixo central, mas deslocado a uma distância $ d $. A fórmula é:
d
Precisamos usar isso para a esfera, já que vamos comparar com a casca cilíndrica em relação ao diâmetro.

Passo 5

Vamos considerar que queremos que o momento de inércia da esfera em relação a algum eixo paralelo ao diâmetro seja igual ao da casca cilíndrica em relação ao diâmetro. Ou seja:
Iesfera, eixo = Icasca, diâmetro â
Sabemos que o momento de inércia da casca em torno do diâmetro é o mesmo que em torno do eixo central, pois para uma casca cilíndrica, os momentos em qualquer direção perpendicular ao eixo central são iguais.

Passo 6

Substituindo as fórmulas:
25 m r^2 + m d^2 = m r^2
Aqui, $ d $ é a distância entre o eixo central da esfera e o eixo desejado.

Passo 7

Vamos resolver para $ d $:
d

Resposta

A esfera possui o mesmo momento de inércia que a casca cilíndrica em relação a um eixo paralelo ao diâmetro, deslocado a uma distância $ d = \frac{r \sqrt{15}}{5} $ do eixo central.

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