A força \mathbf{F}=(-8,0 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(6,0 \mathrm{~N}) \mathbf{j} atua sobre uma partícula cujo vetor posição é \mathbf{r}=(3,0 \mathrm{~m}) \mathbf{i}+(4,0 \mathrm{~m}) \mathbf{j}. Quais são (a) o torque aplicado à partícula, em torno da origem e (b) o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F} ?

Passo 1

O enunciado dá a força \mathbf{F}=(-8\,\text{N})\,\mathbf{i}+(6\,\text{N})\,\mathbf{j} e o vetor posição \mathbf{r}=(3\,\text{m})\,\mathbf{i}+(4\,\text{m})\,\mathbf{j}. Pede (a) o torque \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F} em relação à origem e (b) o ângulo \theta entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Usaremos produto vetorial em 2D para o torque e produto escalar para o ângulo.

Passo 2

O torque em 2D tem só componente em k, dada por
\tau_{z} = r_x\,F_y \;-\; r_y\,F_x = 3\cdot6 \;-\; 4\cdot(-8) = 18 + 32 = 50\,.

Passo 3

Como \tau_x=\tau_y=0 e \tau_z=50, o vetor torque é
\boldsymbol{\tau} = (0,0,50)\,\text{N}\cdot\text{m}\;=\;50\,\mathbf{k}\,\text{N}\cdot\text{m}\,.

Passo 4

Para o ângulo usamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} = 3\cdot(-8) + 4\cdot6 = -24 + 24 = 0,
|\mathbf{r}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5,\quad |\mathbf{F}| = \sqrt{(-8)^2+6^2} = 10.

Passo 5

Da definição
\cos\theta = \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{F}}{|\mathbf{r}|\;|\mathbf{F}|} = \frac{0}{5\cdot10} = 0
segue que
\theta = \operatorname{arccos}(0) = 90^\circ.

Resposta

(a) \boldsymbol{\tau} = 50\,\mathbf{k}\,\text{N}\cdot\text{m}.
(b) \theta = 90^\circ.

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