Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0).
e) Qual a soma dos torques sobre cada partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está trabalhando com Torque na matéria de Mecânica, especificamente em dinâmica de partículas. O problema nos dá as posições de duas partículas em função do tempo e pede para calcular a soma dos torques sobre cada uma delas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores posição, aceleração, força e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ( tau) em uma partícula é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição ( r) e a força ( F) que atua sobre ela:
tau = r times F

Passo 3

Para encontrar a força atuando em cada partícula, precisamos calcular a aceleração delas. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos fazer isso para as duas partículas.
Para a partícula 1:
r1(t) = (4t, t^2, 0)
Primeira derivada (velocidade):
v1(t) = dr1dt = (4, 2t, 0)
Segunda derivada (aceleração):
a1(t) = dv1dt = (0, 2, 0)
Para a partícula 2:
r2(t) = (2t, t^4, 0)
Primeira derivada (velocidade):
v2(t) = dr2dt = (2, 4t^3, 0)
Segunda derivada (aceleração):
a2(t) = dv2dt = (0, 12t^2, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular a força que atua em cada partícula usando a segunda lei de Newton ( F = ma). Cada partícula tem massa m = 2,kg.
Para a partícula 1:
F1(t) = m cdot a1(t) = 2 cdot (0, 2, 0) = (0, 4, 0),N
Para a partícula 2:
F2(t) = m cdot a2(t) = 2 cdot (0, 12t^2, 0) = (0, 24t^2, 0),N

Passo 5

Com as forças determinadas, vamos agora calcular o torque sobre cada partícula usando tau = r times F.
Para a partícula 1:
tau1(t) = r1(t) times F1(t) = i & j & k 4t & t^2 & 0 0 & 4 & 0 = (0, 0, 16t)
Para a partícula 2:
tau2(t) = r2(t) times F2(t) = i & j & k 2t & t^4 & 0 0 & 24t^2 & 0 = (0, 0, 48t^3)

Passo 6

Finalmente, vamos somar os torques das duas partículas:
tautotal(t) = tau1(t) + tau2(t) = (0, 0, 16t) + (0, 0, 48t^3) = (0, 0, 16t + 48t^3)

Resposta

A soma dos torques sobre as duas partículas é tautotal(t) = (0, 0,, 16t + 48t^3), Ncdotm.

Exercícios relacionados