Um cilindro de massa M e raio R cm é colocado (inicialmente em repouso) no topo de uma rampa com um ângulo de inclinação theta e altura h. Sabendo que o cilindro ( I=M R^2 / 2, em relação ao centro de massa) rola sem deslizar até o final da rampa,
c) Determine a força que a rampa exerce no cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro com massa M e raio R colocado no topo de uma rampa inclinada com ângulo theta e altura h. O cilindro rola sem escorregar até o final da rampa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que a rampa está exercendo sobre o cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de corpos que rolam e forças em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no cilindro enquanto ele está descendo a rampa. Existem basicamente duas forças principais:
  1. Força Peso ( P): Essa é a força da gravidade agindo para baixo, com magnitude P = M g, onde g é a aceleração da gravidade.
  2. Força Normal ( N): Essa é a força que a rampa exerce perpendicularmente à sua superfície sobre o cilindro.
Além dessas, tem a força de atrito que impede o cilindro de escorregar, mas como estamos focando na força normal, vamos nos concentrar nas duas primeiras.

Passo 3

Agora, vamos decompor a força peso em duas direções: paralela e perpendicular à rampa.
  • Componente Paralela ( Pparal<=l): Essa é a parte da força peso que faz o cilindro deslizar para baixo pela rampa. Ela é dada por:
    Pparal<=l = M g sin theta
  • Componente Perpendicular ( Pperp): Essa é a parte da força peso que empurra o cilindro contra a rampa. Ela é dada por:
    Pperp = M g cos theta

Passo 4

A força normal ( N) é exatamente a força que a rampa exerce para equilibrar a componente perpendicular da força peso. Como o cilindro não está se movendo para dentro ou para fora da rampa, essas duas forças se cancelam. Portanto, temos:
N = Pperp = M g cos theta

Resposta

A força que a rampa exerce no cilindro é:
N = M g cos theta

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