Um cilindro de massa m rola sobre uma superficie horizontal lisa. Uma corda é enrolada em um carretel muito leve e concêntrico ao cilindro, como mostrado na figura. O cilindro está em repouso quando uma força horizontal
é aplicada na extremidade livre da corda. O raio do cilindro é R e o raio do carretel é r. Considere
e use
.
Considerando
, e que o cilindro rola sem deslizar, determine a aceleração angular do cilindro.
Considerando
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um cilindro de massa
rolando sobre uma superfície horizontal lisa. Uma força horizontal
está sendo aplicada na extremidade livre de uma corda enrolada em um carretel leve, com raio
. O raio do próprio cilindro é
. Queremos encontrar a aceleração angular
do cilindro, sabendo que ele rola sem deslizar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e a condição de rolagem sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no cilindro. Temos a força
puxando a corda, que causa uma torque no cilindro. Como a superfície é lisa, a única força horizontal é
. A condição de rolagem sem deslizamento nos diz que a aceleração linear
e a aceleração angular
estão relacionadas por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação do cilindro. A força resultante na direção horizontal é igual à massa vezes a aceleração:
Mas como temos rotação, precisamos relacionar
e
.
Passo 4
Vamos também aplicar a segunda lei de Newton para a rotação. O torque
causado pela força
é dado por:
E esse torque é igual ao momento de inércia
vezes a aceleração angular
:
Passo 5
Para um cilindro sólido rolando sem deslizamento, o momento de inércia
é:
Substituindo na equação do torque:
Passo 6
Agora, vamos relacionar
e
usando a condição de rolagem sem deslizamento:
E da segunda lei de Newton para a translação:
Passo 7
Temos agora duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 8
Substituindo
na primeira equação:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Mas isso não faz sentido com os valores dados, então provavelmente precisamos considerar que o momento de inércia não é apenas do cilindro, mas também do carretel.
Passo 9
Na verdade, o carretel tem raio
e é leve, o que significa que seu momento de inércia pode ser desprezado. Assim, voltamos à equação:
E ainda temos:
Vamos resolver essas duas equações simultaneamente.
Passo 10
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso implica que temos uma relação entre
e
. Porém, com os valores dados
e
, isso não é válido, indicando que talvez precisemos considerar também a aceleração linear.
Passo 11
Vamos reconsiderar: O torque total também inclui a aceleração linear. Então, a equação correta seria:
E
, então:
E
, substituindo na segunda lei:
Agora, temos:
Resolvendo para
:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Isso ainda está nos dando
, o que não é o caso com os valores dados. Portanto, devemos incluir a aceleração na rotação.
Passo 12
Vamos considerar que o torque também está relacionado com a aceleração angular:
E a força
também causa uma aceleração linear:
E
, então:
Substituindo
na equação do torque:
Cancelando
:
Simplificando:
Novamente, chegamos à mesma relação. Parece que há um equívoco na abordagem. Vamos reiniciar.
Passo 13
Vamos considerar que o carretel tem raio
e está girando com a mesma aceleração angular
do cilindro. A corda puxa o carretel, então a aceleração linear da corda é
. Mas a rolagem sem deslizamento implica que
.
Então, temos duas acelerações:
A força
causa uma aceleração no carretel:
Substituindo
:
Agora, combinamos com a relação de acelerações:
Mas a aceleração do carretel deve ser igual à aceleração do cilindro, então
:
Isso não é verdade com os valores dados, indicando que precisamos uma abordagem diferente.
Passo 14
Vamos usar o momento de inércia do sistema e a relação entre as acelerações. O torque total é:
O momento de inércia total do cilindro é:
Então:
Agora substituímos os valores:
Resposta
Calculando:
A aceleração angular do cilindro é
.