Para um cilindro metálico delgado, de raio R e densidade superficial de cargas \lambda, a partir da lei de Gauss, determine as expressões pra o campo elétrico nas seguintes regiões:
\left.\mathrm{r}\langle\mathrm{R}

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro metálico fino, de raio R e densidade linear de carga \lambda. Pedem o campo elétrico em duas regiões: dentro do condutor r<R e fora dele r>R. Vamos aplicar a Lei de Gauss aproveitando a simetria cilíndrica.

Passo 2

Para r<R, estamos no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático. Nesse caso, todo excesso de carga jaz na superfície, e o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Logo,
E(r)=0\quad\text{para }r<R.

Passo 3

Para r>R, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Por simetria, o campo é radial e constante em toda a superfície lateral, então o fluxo é
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi rL).
A carga total enclausurada é
Q_{\rm enc}=\lambda\,L.
Pela Lei de Gauss,
\Phi = \frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)\,2\pi rL = \frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.

Resposta

Para um cilindro metálico fino de raio R\) e densidade linear de carga \(\lambda\), o campo elétrico é \[E(r)= \begin{cases} 0,&r<R,\\[6pt] \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r},&r>R, \end{cases}
com direção radial (para fora se (\lambda>0]).]

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