Questão 5

Obtenha a expressão para força Eletromotriz induzida em uma bobina de detecção (prova) colocada em um ponto entre o par de Bobinas de Helmholtz equidistante dos seus centros, sendo conhecido a expressão do Campo resultante. E explique a possibilidade de não ser possível a realização de medidas neste ponto.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um par de bobinas de Helmholtz, idênticas, de raio R e N_{p} espiras cada, separadas pela distância R. Entre os centros dessas bobinas (no ponto médio x=0) o campo magnético resultante é conhecido e uniforme em função da corrente I(t). Precisamos achar a força eletromotriz induzida \varepsilon numa bobina de detecção de N_{d} espiras e área A colocada ali, usando a Lei de Faraday, e discutir por que, nesse ponto, pode não ser possível medir nada.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Faraday: a fem induzida numa bobina de detecção é
\varepsilon(t) \;=\;-\,N_{d}\,\frac{d\Phi(t)}{dt},
onde \Phi(t) é o fluxo magnético pela bobina de detecção.

Passo 3

O fluxo magnético é
\Phi(t)=\int_{\!\!A} \!{\bf B}(t)\cdot d{\bf A},
e, como o campo {\bf B}(t) no centro é uniforme e paralelo ao eixo da bobina, temos
\Phi(t)=B(0,t)\;A.

Passo 4

Logo,
\varepsilon(t)=-\,N_{d}\,A\,\frac{dB(0,t)}{dt}.

Passo 5

Sabendo que o campo axial no centro das bobinas de Helmholtz vale
B(0,t) =\frac{\mu_{0}\,N_{p}\,I(t)\,R^{2}}{\bigl(R^{2}+(R/2)^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{8}{5\sqrt{5}}\;\frac{\mu_{0}\,N_{p}}{R}\;I(t),
diferenciamos em relação ao tempo:
\frac{dB(0,t)}{dt} =\frac{8}{5\sqrt{5}}\;\frac{\mu_{0}\,N_{p}}{R}\;\frac{dI}{dt}.
Substituindo em \varepsilon(t) obtém-se
\boxed{ \varepsilon(t) =-\,N_{d}\,A\; \frac{8}{5\sqrt{5}}\;\frac{\mu_{0}\,N_{p}}{R}\; \frac{dI}{dt} }.

Passo 6

Por que pode ser impossível medir nesse ponto?
Como a fem induzida é proporcional a \tfrac{dI}{dt}, se as bobinas de Helmholtz forem alimentadas com corrente contínua dI/dt=0, teremos \varepsilon=0. Em outras palavras, uma bobina fixa não detecta campo magnético estático. Além disso, por simetria o campo ali é perfeitamente uniforme, de modo que qualquer variação espacial interna à bobina de detecção é nula e não gera fluxo variável. Portanto, para se obter sinal é necessário fazer I variar no tempo (corrente alternada ou rampa), caso contrário não há como medir a fem naquele ponto.

Resposta

\varepsilon(t) =-\,N_{d}\,A\;\frac{8}{5\sqrt{5}}\;\frac{\mu_{0}\,N_{p}}{R}\;\frac{dI}{dt}.
Medir com corrente contínua é impossível dI/dt=0\Rightarrow\varepsilon=0, e o campo uniforme no centro não gera variação de fluxo espacial na bobina de prova.

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