Um solenoide de \mathrm{N}=22.8 espiras/cm é percorrido por uma corrente \mathrm{I}(\mathrm{t})=\mid sen \omega \mathrm{t}.
a) Sabendo-se que o Campo Magnético B no interior do solenoide é dado B=unl, obtenha a expressão para o Fluxo Magnético sobre uma Bobina de Prova Cilíndrica, de área efetiva de indução NS (N número de espiras e S área geométrica da bobina de prova) colocada em seu interior.
b) A partir da expressão do Fluxo do item anterior, obtenha pela Lei de Indução de Faraday, a Força Eletromotriz Induzida (f.e.m.) efetiva na bobina.
c) A partir da expressão obtida para a f.e.m. eficaz, explique como seria possível determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina de prova.
d) A partir da medida da tensão Induzida na bobina de detecção seria possível obter o Valor do Campo de Indução magnética b

Passo 1

O enunciado descreve um solenoide com densidade de espiras por comprimento n = 22{,}8 espiras/cm, percorrido por uma corrente
I(t) = \bigl|\sin(\omega t)\bigr|.
Sabemos que, dentro do solenoide, o campo magnético é
B(t) = \mu_{0}\,n\,I(t).
Queremos a) fluxo magnético numa bobina de prova cilíndrica de área efetiva de indução N_{s}S, b) a fem induzida via a lei de Faraday, c) como medir experimentalmente N_{s}S a partir da fem eficaz, e d) como obter o valor de B medindo a tensão induzida. Vamos usar conceitos de fluxo magnético e de indução eletromagnética.

Passo 2

Para achar o fluxo magnético \Phi(t) na bobina de prova, lembramos que
\Phi(t) = N_{s} \, \underbrace{\bigl[B(t)\,S\bigr]}_{\text{campo}\times\text{área}}.á
Substituindo B(t)=\mu_{0}n\,\bigl|\sin(\omega t)\bigr|, vem
\Phi(t) = N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\bigl|\sin(\omega t)\bigr|.

Passo 3

Pela lei de Faraday, a força eletromotriz instantânea é
\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -N_{s}S\,\mu_{0}\,n\;\frac{d}{dt}\!\bigl|\sin(\omega t)\bigr|.
Como \tfrac{d}{dt}|\sin(\omega t)| = \sgn\!\bigl(\sin(\omega t)\bigr)\,\omega\,\cos(\omega t), obtemos
\mathcal{E}(t) = -N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\omega\;\sgn\!\bigl(\sin(\omega t)\bigr)\,\cos(\omega t).

Passo 4

Para achar o valor eficaz (RMS) de \mathcal{E}(t), notamos que o fator de sinal não altera o quadrado da função. A amplitude máxima é
\mathcal{E}_{0} = N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\omega,
e, como \cos(\omega t) tem valor eficaz \tfrac{1}{\sqrt{2}}, segue
\mathcal{E}_{\text{ef}} = \frac{\mathcal{E}_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\omega}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Para determinar experimentalmente N_{s}S, montamos a bobina de prova no solenoide, medimos \mathcal{E}_{\text{ef}} com um voltímetro RMS conhecido e usamos
N_{s}S = \frac{\sqrt{2}\,\mathcal{E}_{\text{ef}}}{\mu_{0}\,n\,\omega}.
Tudo o mais \mu_{0}, n, \omega é conhecido, então isolamos N_{s}S.

Passo 6

Medindo a tensão induzida \mathcal{E}(t) e integrando numericamente (ou em circuito RC) para obter o fluxo \Phi(t), dividimos por N_{s}S para achar
B(t) = \frac{\Phi(t)}{S}\,\frac{1}{N_{s}}
e, em especial, seu valor de pico ou valor médio. Assim determinamos o campo de indução magnética B.

Resposta

a) \displaystyle \Phi(t)=N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\bigl|\sin(\omega t)\bigr|.
b) \displaystyle \mathcal{E}(t)=-N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\omega\;\sgn(\sin(\omega t))\,\cos(\omega t) e \displaystyle \mathcal{E}_{\text{ef}}=\frac{N_{s}S\,\mu_{0}\,n\,\omega}{\sqrt{2}}.
c) Medindo \mathcal{E}_{\text{ef}} e usando \displaystyle N_{s}S=\tfrac{\sqrt{2}\,\mathcal{E}_{\text{ef}}}{\mu_{0}\,n\,\omega}.
d) A partir de \mathcal{E}(t), integra-se para obter \Phi(t) e divide-se por N_{s}S para chegar em B(t).

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