1 Um cilindro não condutor, muito longo de comprimento L=5,42 \mathrm{~m} e raio R_{1}=10,0 \mathrm{~cm}, carregado com uma carga total +q=3,25 \times 10^{-9} \mathrm{C} distribuída uniformemente é envolvido coaxialmente por uma casca cilíndrica condutora (também de comprimento L ) de raio R_{2}=20,0 \mathrm{~cm} com carga total q_{2}=-2 q. Seja r a distância a partir do eixo dos cilindros. Despreze os efeitos de borda e considere q=3,25 \times 10^{-9} \mathrm{C}
a) Encontre o campo elétrico dentro do cilindro isolante para r=1,91 \mathrm{~cm}.
b) Encontre o potencial elétrico em um ponto r=28,9 \mathrm{~cm} fora da casca. Considere r \ll L e que o potencial na superfície do cilindro de raio R 2 é V\left(R_{2}\right)=0,000 \mathrm{~V}.
(a) \left(12\right. pontos) (A) 2,54 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (B) 2,87 \times 10^{2} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 5,21 \times 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (D) 7,94 \times 10^{-1} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (E) 1,55 \times 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (F) 1,26 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (G) 2,06 \times 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (H) 1,01 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (I) 2,09 \times 10^{2} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (J) 3,23 \times 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (K) 7,94 \times 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (L) 1,40 \times 10^{2} \mathrm{~V} / \mathrm{m},(\mathrm{M}) 1,12 \mathrm{~V} / \mathrm{m},(\mathrm{N}) 1,00 \times 10^{2} \mathrm{~V} / \mathrm{m},(\mathrm{O}) 9,96 \mathrm{~V} / \mathrm{m},(\mathrm{P}) 2,06 \times 10^{-1} \mathrm{~V} / \mathrm{m},
(b) (13 pontos) (A) 2,81 \mathrm{~V}, (B) 1,22 \mathrm{I}, 2,50 \mathrm{~V}, (D) 1,01 \mathrm{~V}, (E) 2,09 \mathrm{~V}, (F) 1,48 \times 10 \mathrm{~V}, (G) 1,39 \mathrm{~V}, (H) 3,97 \mathrm{~V}, (I) 6,75 \mathrm{~V},(\mathrm{~J}) 5,74 \mathrm{~V},(\mathrm{~K}) 5,52 \times 10^{-1} \mathrm{~V},(\mathrm{~L}) 7,90 \mathrm{~V},(\mathrm{M}) 3,37 \mathrm{~V},(\mathrm{~N}) 1,68 \mathrm{~V},(\mathrm{O}) 4,99 \mathrm{~V},(\mathrm{P}) 8,38 \times 10^{-1} \mathrm{~V}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cilindro não condutor coaxial de raio R_{1}=0{,}10\\ \mathrm m, comprimento L=5{,}42\\ \mathrm m e carga total q=3{,}25\times10^{-9}\\ \mathrm C distribuída uniformemente no volume. Em volta, uma casca condutora de raio R_{2}=0{,}20\\ \mathrm m e mesma altura L carrega q_{2}=-2q. Desprezamos bordas e queremos
(a) o campo \mathbf E em r=1{,}91\\ \mathrm{cm}<R_{1} usando a Lei de Gauss para simetria cilíndrica;
(b) o potencial V(r) em r=28{,}9\\ \mathrm{cm}>R_{2}, com V(R_{2})=0, integrando \mathbf E.

Passo 2

Dentro do cilindro isolante ( r<R_{1}) a carga volumétrica é
\rho=\frac{q}{\pi R_{1}^{2}L}\,.
Aplicando Gauss numa superfície cilíndrica de raio r e comprimento L,
E(r)\,(2\pi r L)\,\varepsilon_{0} =\rho \,\bigl(\pi r^{2}L\bigr) \;\Longrightarrow\; E(r) =\frac{\rho\,r}{2\varepsilon_{0}} =\frac{q\,r}{2\pi\varepsilon_{0}R_{1}^{2}L}\,.
Para r=1{,}91\\ \mathrm{cm}=0{,}0191\\ \mathrm m,
E(0{,}0191) =\frac{(3{,}25\times10^{-9})(0{,}0191)}{2\pi(8{,}854\times10^{-12})(0{,}10)^{2}(5{,}42)} \approx20{,}6\\ \mathrm{V/m}\,.
Comparando com as alternativas dadas, 20{,}6\\ \mathrm{V/m}=2{,}06\times10^{1}\\ \mathrm{V/m} corresponde à letra G.

Passo 3

Para r>R_{2} a carga efetiva por comprimento é
\lambda_{\rm tot} =\frac{q}{L}+\frac{q_{2}}{L} =\frac{q-2q}{L} =-\frac{q}{L}\,,
logo o campo radial é
E(r) =\frac{\lambda_{\rm tot}}{2\pi\varepsilon_{0}\,r} =-\frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}L}\,\frac{1}{r}\,.
O potencial, com V(R_{2})=0, vem de
V(r)-V(R_{2}) =-\int_{R_{2}}^{r}E(r')\,dr' =\frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}L}\int_{R_{2}}^{r}\frac{dr'}{r'} =\frac{q}{2\pi\varepsilon_{0}L}\ln\frac{r}{R_{2}}\,.
Substituindo q=3{,}25\times10^{-9}\\ \mathrm C, L=5{,}42\\ \mathrm m, r=0{,}289\\ \mathrm m, R_{2}=0{,}20\\ \mathrm m, obtemos
V(0{,}289) \approx\frac{3{,}25\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854\times10^{-12})(5{,}42)} \ln\!\bigl(1{,}445\bigr) \approx3{,}97\\ \mathrm V\,.
Nas opções, 3{,}97\\ \mathrm V corresponde à letra H.

Resposta

(a) G
(b) H

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