Considere uma partícula confinada em uma caixa com largura b. Determine o valor aproximado de b para que a energia do nível fundamental seja igual a 0,5 \mathrm{MeV}.

Passo 1

O enunciado pede para achar a largura b de uma “caixa” unidimensional infinita de potencial (poço infinito) de modo que a energia do nível fundamental seja 0,5,MeV. Este é um problema de mecânica quântica onde o nível n=1 tem energia
E_1 = \frac{h^2}{8\,m\,b^2}\,,
sendo h a constante de Planck e m a massa da partícula (que vamos tomar como massa do elétron, m_e).

Passo 2

Isolamos b na fórmula de E_1. Começamos por inverter:
b^2 = \frac{h^2}{8\,m\,E_1} \quad\Longrightarrow\quad b = \sqrt{\frac{h^2}{8\,m\,E_1}}\,.

Passo 3

Precisamos colocar tudo em unidades do SI. Usaremos
h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, \quad m_e = 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}.
Também convertemos a energia pedida de \,0,5,MeV para joule:
E_1 = 0{,}5\;\mathrm{MeV} = 0{,}5\times10^{6}\,\mathrm{eV} = 0{,}5\times10^{6}\times1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J} \approx8{,}01\times10^{-14}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Agora substituímos em
b = \sqrt{\frac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{8\,(9{,}11\times10^{-31})\,(8{,}01\times10^{-14})}}.
No numerador temos (6{,}626\times10^{-34})^2\approx4{,}39\times10^{-67}.
No denominador,
8\times9{,}11\times10^{-31}\times8{,}01\times10^{-14} \approx5{,}84\times10^{-43}.

Passo 5

Calculando b^2 e depois b:
b^2 \approx \frac{4{,}39\times10^{-67}}{5{,}84\times10^{-43}} \approx7{,}52\times10^{-25},
b \approx \sqrt{7{,}52\times10^{-25}} \approx8{,}7\times10^{-13}\,\mathrm{m}.

Resposta

b \approx8{,}7\times10^{-13}\,\mathrm{m} (aproximadamente 0{,}9,pm).

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