Um fio de cobre com seção circular de raio R conduz uma corrente I distribuida uniformemente pela seção do fio. Encontre a expressão literal do campo magnetico em função do raio.
Para os mesmos valores R=10,0 \mathrm{~mm} e I=4,03 \mathrm{~A}, encontre o valor do campo magnético para r_{2}=14,3 \mathrm{~mm} e marque a resposta no gabarito.

Passo 1

O enunciado descreve um fio condutor longo de seção circular de raio R que carrega uma corrente total I distribuída uniformemente sobre sua seção transversal. Precisamos usar a lei de Ampère para obter o módulo do campo magnético B em função da distância r ao eixo do fio.

Passo 2

Como a corrente está distribuída uniformemente, a densidade de corrente (corrente por área) vale
J = \frac{I}{\pi R^{2}}.
Para r\le R, a corrente total envolvida dentro de um círculo de raio r é
I_{\mathrm{enc}} = J \,(\pi r^{2}) = I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Aplicando a lei de Ampère num caminho circular de raio r:
B(2\pi r) = \mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}} \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_{0}\,I\,r}{2\pi R^{2}},\quad (r\le R).

Passo 3

Para r>R, toda a corrente I está dentro do amperiano, logo I_{\mathrm{enc}}=I. A lei de Ampère dá
B(2\pi r)=\mu_{0}I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r},\quad (r>R).

Passo 4

Agora usemos R=10{,}0\text{ mm}=0{,}010\text{ m}, I=4{,}03\text{ A} e r_{2}=14{,}3\text{ mm}=0{,}0143\text{ m}. Como r_{2}>R, usamos
B(r_{2}) = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r_{2}} = \frac{4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}\,\times4{,}03}{2\pi\times0{,}0143} = \frac{2\times10^{-7}\times4{,}03}{0{,}0143}\,\mathrm{T} \approx5{,}64\times10^{-5}\,\mathrm{T}.

Resposta

Expressão geral do módulo do campo magnético:
Para r\le R:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I\,r}{2\pi R^{2}}.
Para r>R:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}.
Valor numérico em r_{2}=14{,}3\text{ mm}:
B(r_{2})\approx5{,}64\times10^{-5}\,\mathrm{T}.

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