Um cilindro não condutor, muito longo de comprimento
e raio
, carregado com uma carga total
distribuída uniformemente é envolvido coaxialmente por uma casca cilíndrica condutora (também de comprimento L ) de raio
com carga total
. Seja
a distância a partir do eixo dos cilindros. Despreze os efeitos de borda e considere
a) Encontre o campo elétrico dentro do cilindro isolante para
.
b) Encontre o potencial elétrico em um ponto
fora da casca. Considere
e que o potencial na superf́́cie do cilindro de raio
é
.
a) Encontre o campo elétrico dentro do cilindro isolante para
b) Encontre o potencial elétrico em um ponto
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Eletrostática envolvendo cilindros carregados. Precisamos encontrar o campo elétrico dentro de um cilindro isolante para uma determinada distância do eixo e o potencial elétrico fora de uma casca condutora. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de potencial elétrico.
Passo 2
Parte a) Queremos encontrar o campo elétrico dentro do cilindro isolante para
. Como
está dentro do cilindro isolante (
), vamos utilizar a Lei de Gauss para cilindros.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Passo 4
Para um cilindro de simetria, o campo elétrico
é radial e depende apenas da distância
ao eixo. A área da superfície gaussiana é:
Passo 5
A carga total
está distribuída uniformemente no cilindro de raio
. A densidade de carga linear
é:
A carga interna
dentro de
é proporcional à área:
Substituindo
:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo os valores dados:
Passo 8
Calculando:
Passo 9
Parte b) Queremos encontrar o potencial elétrico em um ponto
fora da casca condutora (
). Sabemos que
.
Passo 10
Para
, a carga total efetiva é a soma das cargas do cilindro e da casca. A carga total é:
Passo 11
O potencial elétrico a uma distância
de um cilindro longo com carga linear
é:
Como
:
Passo 12
Calculando
:
Passo 13
Substituindo os valores:
Passo 14
Calculando:
Resposta
a) O campo elétrico dentro do cilindro isolante para
é aproximadamente
.
b) O potencial elétrico em um ponto
fora da casca condutora é aproximadamente
.