Um cilindro não condutor, muito longo de comprimento L=4,00 m e raio R1=10,0 cm, carregado com uma carga total +q=2,00 times 10^-9 C distribuída uniformemente é envolvido coaxialmente por uma casca cilíndrica condutora (também de comprimento L ) de raio R2=20,0 cm com carga total q2=-2 q. Seja r a distância a partir do eixo dos cilindros. Despreze os efeitos de borda e considere q=2,00 times 10^-9 C
a) Encontre o campo elétrico dentro do cilindro isolante para r=5,00 cm.
b) Encontre o potencial elétrico em um ponto r=25,0 cm fora da casca. Considere r ll L e que o potencial na superf́́cie do cilindro de raio R 2 é (V(R2)=0,000 V).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática envolvendo cilindros carregados. Precisamos encontrar o campo elétrico dentro de um cilindro isolante para uma determinada distância do eixo e o potencial elétrico fora de uma casca condutora. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de potencial elétrico.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar o campo elétrico dentro do cilindro isolante para r = 5,00 , cm . Como r está dentro do cilindro isolante ( R1 = 10,0 , cm ), vamos utilizar a Lei de Gauss para cilindros.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0 ):
oint E cdot dA = qintvarepsilon0

Passo 4

Para um cilindro de simetria, o campo elétrico E é radial e depende apenas da distância r ao eixo. A área da superfície gaussiana é:
A = 2pi r L

Passo 5

A carga total q está distribuída uniformemente no cilindro de raio R1 . A densidade de carga linear lambda é:
lambda = qL
A carga interna qint dentro de r = 5,00 , cm é proporcional à área:
qint = lambda cdot pi r^2
Substituindo lambda :
qint = qL cdot pi r^2

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = qL cdot pi r^2varepsilon0
Simplificando:
E = q r2pi varepsilon0 L R1^2

Passo 7

Substituindo os valores dados:
q = 2,00 times 10^-9 , C, r = 0,05 , m, varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2, L = 4,00 , m, R1 = 0,10 , m
E = 2,00 times 10^-9 times 0,052pi times 8,85 times 10^-12 times 4,00 times (0,10)^2

Passo 8

Calculando:
E approx 1,00 times 10^-102pi times 8,85 times 10^-12 times 4,00 times 0,01
E approx 1,00 times 10^-102,23 times 10^-12
E approx 4,48 times 10^1 , N/C

Passo 9

Parte b) Queremos encontrar o potencial elétrico em um ponto r = 25,0 , cm fora da casca condutora ( R2 = 20,0 , cm ). Sabemos que V(R2) = 0 , V .

Passo 10

Para r > R2 , a carga total efetiva é a soma das cargas do cilindro e da casca. A carga total é:
qtotal = q + q2 = 2,00 times 10^-9 + (-4,00 times 10^-9) = -2,00 times 10^-9 , C

Passo 11

O potencial elétrico a uma distância r de um cilindro longo com carga linear lambda é:
V(r) = lambda2pi varepsilon0 ln(rR2) + V(R2)
Como V(R2) = 0 :
V(r) = lambda2pi varepsilon0 ln(rR2)

Passo 12

Calculando lambda :
lambda = qtotalL = -2,00 times 10^-94,00 = -5,00 times 10^-10 , C/m

Passo 13

Substituindo os valores:
V(0,25) = -5,00 times 10^-102pi times 8,85 times 10^-12 ln(0,250,20)

Passo 14

Calculando:
V(0,25) approx -5,00 times 10^-105,56 times 10^-11 ln(1,25)
V(0,25) approx -9,00 times ln(1,25)
V(0,25) approx -9,00 times 0,2231 approx -2,0079 , V

Resposta

a) O campo elétrico dentro do cilindro isolante para r = 5,00 , cm é aproximadamente E approx 4,48 times 10^1 , N/C .
b) O potencial elétrico em um ponto r = 25,0 , cm fora da casca condutora é aproximadamente V(25,0 , cm) approx -2,01 , V .

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