Um cilindro oco muito longo possui raio interno a e raio externo b e conduz uma corrente I uniformemente distribuída através de sua seção transversal. Calcule o módulo do campo magnético produzido pelo fio em todo o espaço (dentro e fora do fio). Esboce um gráfico de B(r).

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro longo e oco, de raio interno a e externo b, por onde passa uma corrente total I uniformemente distribuída na seção entre r=a e r=b. Precisamos usar a Lei de Ampère para achar o campo magnético B(r) nas três regiões: r<a, a<r<b e r>b.

Passo 2

Para r<a não há corrente envolvida pelo caminho amperiano circular de raio r. Assim, pela Lei de Ampère
oint Bcdot dell = mu0,Irm enc Longrightarrow B(r),(2pi r)=mu0cdot 0
Logo
B(r)=0,, r<a

Passo 3

Na casca condutora ( a<r<b) a densidade de corrente superficial efetiva (na seção transversal) é
J = Ipil(b^2 - a^2r)
A corrente envolvida por um raio r com a<r<b é a corrente que preenche a área entre a e r, ou seja
Irm enc(r) = J;pil(r^2 - a^2r) = I,r^2 - a^2b^2 - a^2

Passo 4

Aplicando a Lei de Ampère em a<r<b:
B(r),(2pi r)=mu0,Irm enc(r) =mu0,I,r^2 - a^2b^2 - a^2,
de onde
B(r)=mu0,I2pi r,r^2 - a^2b^2 - a^2,, a<r<b

Passo 5

Para fora do cilindro ( r>b) toda a corrente I está envolvida, então
B(r),(2pi r)=mu0,I Longrightarrow B(r)=mu0,I2pi r,, r>b

Passo 6

O comportamento de B(r) é:
  • zero até r=a,
  • cresce de r=a até r=b segundo tfracr^2-a^2r, atingindo em r=b o valor mu0I/(2pi b),
  • e decai como 1/r para r>b.
O esboço de B(r) versus r é:
0, & r<a, curva crescente, & a<r<b, hipérbo<= 1/r, & r>b é

Resposta

B(r)= 0,, & r<a,[6pt] mu0,I2pi r,r^2 - a^2b^2 - a^2,, & a<r<b,[8pt] mu0,I2pi r,, & r>b
Gráfico qualitativo de B(r):
  • B=0 para r<a,
  • sobe monotonamente até B=mu0 I2pi b em r=b,
  • depois decai como 1/r para r>b.]

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