Um cilindro com pistão contém 4 mols de ar 25,0{ }^{\circ} \mathrm{C} e 200 kPa . A energia é transferida para o sistema por meio de calor à medida que se expande, com a pressão aumentando para 400 kPa . Ao longo da expansão, a relação entre pressão e volume é dada por \underline{P}=C V^{1 / 2} onde C é uma constante (a) Encontre o volume inicial. (b) Encontre o volume final. (c) Encontre a temperatura final. (d) Encontre o trabalho realizado pelo ar. (e) Encontre a energia transferida por calor. Considere \underline{R=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} \text { e } C_{V}(\text { do ar })=\frac{5}{2} R}.
(a) Encontre o volume inicial.
(b) Encontre o volume final.
(c) Encontre a temperatura final.
(d) Encontre o trabalho realizado pelo ar.
(e) Encontre a energia transferida por calor. Considere \underline{R=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} \text { e } C_{V}(\text { do ar })=\frac{5}{2} R}.

Passo 1

Temos um gás ideal (ar) com n=4 mol, temperatura inicial T_{1}=25,0^\circ\mathrm{C}=298,15,K, pressão inicial P_{1}=200,kPa e final P_{2}=400,kPa. O processo satisfaz
P = C\,V^{1/2},
onde C é constante. Precisamos usar:
1. Equação de estado do gás ideal \displaystyle P\,V=n\,R\,T.
2. Trabalho W=\displaystyle\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV.
3. Variação de energia interna \Delta U=n\,C_{V}\,(T_{2}-T_{1}).
4. Primeira lei da termodinâmica Q=\Delta U+W.

Passo 2

Calcular o volume inicial V_{1} pela lei dos gases ideais:
V_{1}=\frac{n\,R\,T_{1}}{P_{1}} =\frac{4\cdot 8{,}31\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot 298{,}15\;\mathrm{K}}{200\,000\;\mathrm{Pa}} \approx 0{,}04957\;\mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Determinar C e daí V_{2}.
C=\frac{P_{1}}{\sqrt{V_{1}}} =\frac{200\,000}{\sqrt{0{,}04957}} \approx 8,9826\times 10^{5}\;\mathrm{Pa\cdot m^{-1/2}}.
Como P_{2}=C\sqrt{V_{2}}, temos
\sqrt{V_{2}}=\frac{P_{2}}{C} =\frac{400\,000}{8,9826\times 10^{5}} \approx 0{,}44529, \quad V_{2}\approx(0{,}44529)^{2}=0{,}1983\;\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Calcular a temperatura final T_{2} pela equação de estado:
T_{2}=\frac{P_{2}\,V_{2}}{n\,R} =\frac{400\,000\;\mathrm{Pa}\times 0{,}1983\;\mathrm{m}^{3}}{4\cdot8{,}31\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}} \approx 2\,385\;\mathrm{K}.

Passo 5

Calcular o trabalho realizado pelo gás:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\int_{V_{1}}^{V_{2}}C\,V^{1/2}dV =\frac{2}{3}\,C\Bigl[V^{3/2}\Bigr]_{V_{1}}^{V_{2}} =\frac{2}{3}C\bigl(V_{2}^{3/2}-V_{1}^{3/2}\bigr).
Numérico:
V_{2}^{3/2}=0{,}1983^{3/2}\approx0{,}08831,\quad V_{1}^{3/2}=0{,}04957^{3/2}\approx0{,}01104,
W=\frac{2}{3}\times8{,}9826\times10^{5}\times(0{,}08831-0{,}01104) \approx4,63\times10^{4}\;\mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a variação de energia interna \Delta U:
\Delta U =n\,C_{V}\,(T_{2}-T_{1}) =4\cdot\frac{5}{2}R\,(2\,385-298{,}15) =4\cdot20{,}775\;(2\,086{,}85) \approx1{,}73\times10^{5}\;\mathrm{J}.

Passo 7

Calcular o calor Q pela primeira lei:
Q=\Delta U+W \approx1{,}73\times10^{5}+4{,}63\times10^{4} \approx2{,}20\times10^{5}\;\mathrm{J}.

Resposta

(a) V_{1}\approx0{,}04957\;\mathrm{m}^{3}.
(b) V_{2}\approx0{,}1983\;\mathrm{m}^{3}.
(c) T_{2}\approx2\,385\;\mathrm{K}.
(d) W\approx4,63\times10^{4}\;\mathrm{J}.
(e) Q\approx2,20\times10^{5}\;\mathrm{J}.

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